Mathematiques- Bac Marocain

Mathematics at High school

Exercice N60

Examen National 2020, Session de Rattrapage: Soit $~m~$ un nombre réel non nul. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $~\mathbb{C},~$ les deux équations: $$(E):z^2+2z+1+m^2=0\quad ...


Exercice N59

Examen National Session Normale 2020 Soit $~m~$ un nombre complexe non nul. Première partie: On considère dans $~\mathbb{C}~$, l'équation $$~(E):~~z^3-2mz^2+2m^2z-m^3=0$$ Résoudre dans $~\mathb...


Exercice N58

Montrer que les points $~~A,B,C~~$ sont alignés si et seulement si: $$\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{\overline{b}-\overline{a}}{\overline{c}-\overline{a}}$$ Chercher tous les poins M d'affixes $~~z~~$...


Exercice N57

Déterminer l'ensemble des points $~~M~~$ d'affixe $~~z~~$ pour lesquelles il existe $x$ tel que: $$z=\dfrac{1+ix}{1-ix}$$ ...


Exercice N56

Soit $~~\alpha\neq \beta~~$ deux nombres complexes tels que: $$|\alpha|=|\beta|=1$$ Montrer que le nombre complexe suivant: $$\left(\dfrac{z+\alpha\beta~\overline{z}-(\alpha+\beta)}{\alpha-\beta}\r...


Exercice N55

Déterminer l'ensemble des points $~~M~~$ d'affixes $~~z~~$ pour lesquelles le nombre suivant: $$\left(\dfrac{z-i}{z+i} \right)$$ est réel et en donner une interprétation géométrique. ...


Exercice N54

Soient $~~(a,b,c)~~$ trois nombres complexes tels que: $$~~|a|=|b|=|c|=1~~$$ Montrer que: $$|a+b+c|=|ab+ac+bc|$$...


Exercice N53

Déterminer l'ensemble des points M d'affixes z tels que: $|(1+i)z-2i|=2$ En donner une interprétation géométrique. ...


Exercice N52

Soit $a,b,c$ des nombres réels tels que: $$\cos a + \cos b + \cos c =\sin a +\sin b +\sin c=0$$ Montrer que l'on a également: $$\cos 2a + \cos 2b + \cos 2c =\sin 2a +\sin 2b +\sin 2c=0$$ ...


Exercice N51

Soient $a,b,c$ trois nombres complexes donnés: Résoudre le système suivants où $(u,v,w)$ sont des nombres complexes inconnus à déterminer. $$\begin{cases} u+v+w=a\\u+jv+j^2w=b \\u+j^2v+jw=c \...


Exercice N50

Soit $0 Montrer les deux egalités suivantes: $$\sum\limits_{k=1}^n{\cos {k\theta}}=\dfrac{\cos{ \left( \dfrac{n\theta}{2} \right)}~\sin{\left(\dfrac{(n+1)\theta}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\thet...


Exercice N49

Considérons le sustème d'equations suivantes: $$\begin{cases} \cos x +\cos y=a\\\sin x+\sin y=b \\ \end{cases}$$ où $~~(a,b)\in \mathbb{R}$. Donner une condition nécessaire et suffisante p...


Exercice N48

Montrer que si trois nombres $~z_1,z_2,z_3~$ dans $~~\mathbb{C}~~$ sont alignés si et seulement si il existe trois nombres réels $~(\alpha,\beta,\gamma)~$ non tous nuls tels que: $$\begin{cases} \al...


Exercice N47

Etant donnés 3 affixes: $$3 + i,~ 1 - 2i,~ - 2 + 4i$$ représentants les sommets d'un parallélogramme: combien existe t-il de possibilités pour l'affixe du quatrième sommet. Trouver toutes l...


Exercice N46

Soit $w$ un nombre complexe tel que: $$w^2+w+1=0$$ Montrer que pour tout complexe $z$ il existe unique $~(a,b)\in \mathbb{R}$ tel que: $$z=a+bw$$ Trouver $~~(a,b)~~$ tel que: $$\dfrac{7+5w+3...


Exercice N45

On considère $f$ l'application définie sur $\mathbb{C}-\{i\}$ : $$f(z)=\frac{z-i}{iz-1}$$ Soient $~M,~A,~B~$ les points d'affixes respectifs $~z,~i,~-i$ Déterminer l'ensemble $E_1$ des points $M...


Exercice N44

Soit $u=e^{\frac{2i\pi}{11}}.~$. On pose: $$A=u+u^3+u^4+u^5+u^9\qquad\mbox{ et }\qquad B=u^2+u^6+u^7+u^8+u^{10}.$$ Montrer que $u^{11}=1~$ et que $~\overline{u}=u^{10}.$ Exprimer également le...


Exercice N43

Bac France-Guadeloupe 1998 On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini par : \[ P\left( z\right) =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7 \] Calculer $P\left...


Exercice N42

Bac France-Amérique du Nord mai 2007 Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ (unité graphique : 4~cm). Soit A le point d'affixe $z_{\text{A...


Exercice N41

Extrait Bac France-Pondichéry 2008 Dans un repère orthonormal direct du plan complexe $~(O,\vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique $2~$cm, on considère les points $~A,~ B,~ C~$ et $~D~$ d'affixes respect...


Exercice N40

Soit $~f~$ l'application de $~\mathbb{C}~$ dans $~\mathbb{C}~$ par: \begin{align*} f:~\mathbb{C}&\longrightarrow \mathbb{C}\\ z&\longrightarrow (i-\sqrt{3})z + 3 + \sqrt{3}+i(2\sqrt 3 + 1) \end{al...


Exercice N39

Soient $~\mathcal P~$ un plan affine euclidien et $~~(O,\vec i,\vec j)~~$ un repère orthonormé directe de $~~\mathcal P$. Soient $~z~$ un nombre complexe différent de $~1~$ et $~M~$ son point image d...


Exerice N38

Soit: $~z=1+i\sqrt 3~$ Déterminer le module et un argument de $~z~$. Démontrer que dans le plan complexe, les points images des nombres complexes: $z,~-z,~z^2,~ \text{ et }~ \dfrac{2}{z}~$ appa...


Exercice N37

On considère, dans le plan complexe, les points $~A,~B,~M~$ d'affixes respectives $~a,~b,~z$. Déterminer l'ensemble des points $~M~$ tels que $~~\dfrac{z-a}{z-b}~~$ ait pour module $~~1$. ...


Exercice N36

Soit $\mathbb{Z}[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \mathbb{Z} \}$. Montrer que si $~\alpha~$ et $~\beta~$ sont dans $~\mathbb{Z}[i]~$ alors $~\alpha + \beta~$ et $~\alpha\beta~$ le sont aussi. Trouver ...


Exercice N35

Soit $~x\in\mathbb{R}\cdot\quad$ Linéariser $~\sin^3(x).~$ En déduire, pour $~n\in\mathbb{N}~$ et $~\theta\in\mathbb{R},~$ la somme: \[S=\sum_{k=0}^n\sin^3(k\theta)\] ...


Exercice N34

En utilisant les nombres complexes, calculer $~\cos 5\theta~$ et $~\sin5\theta~$ en fonction de $~\cos\theta~$ et $~\sin\theta$. ...


Exercice N33

Résoudre les équations trigonométriques suivantes : $~3\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)~=~\sqrt{6}$ $~\sqrt{3}\cos(x)-\sin(x)~=~\sqrt{2}$ $~\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cos(x)+\sin(x)~=~-\dfrac{2}{\sqrt{3}}.$ ...


Exercice N32

Soient $z_1$, $z_2$, $z_3$ trois nombres complexes distincts ayant le même cube. Exprimer $z_2$ et $z_3$ en fonction de $z_1$. Donner, sous forme polaire, les solutions dans $\mathbb{C}$ de : ...


Exercice N31

On note: $~~z~=~e^{i\frac{2\pi}{7}},~~$ et on pose: $$~U=z+z^2+z^4\qquad \text{et}\qquad V=z^3+z^5+z^6.~$$ Montrer que $~\overline{U}=V.$ Montrer que $~Im(U)>0.$ Calculer $~U\times V~$ et $...


Exercice P62

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2019 Une urne contient $~n~$ boules numérotées de 1 à $~n~$ $~n\geq 3$. On tire au hasard, sans remise, les boules de cette urne l'une après l'autre. Toutes l...


Exercice P61

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2018 On jette une pièce de monnaie non truqué dix fois successives. On considère la variable aléatoire $~X~$ qui prend la fréquence d'apparition de Pile, c'est...


Exercice P60

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2017 Une urne contient $~2n~$ boules dont $~n~$ boules blanches et $~n~$ boules noires. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. Un jeu consiste à ...


Exercice P59

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2006 On dispose de deux urnes $U$ et $V$ : l'urne $U$ contient 4 boules rouges et 4 boules bleues. Quant à l'urne $V$, contient deux boules rouges et 4 boules b...


Exercice P58

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2014 On considère trois urnes: $~U,V \text{ et }W$. - L'urne W contient une boule noire et deux boules blanches. - Les urnes $~U~$ et $~V~$ contiennent chacu...


Exercice P57

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2013 Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernable au toucher. On tire au hasard et successivement avec remise 4 boules. On considère l...


Exercice P56

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2010 Une urne contient 10 boules blanches et deux boules rouges. On tire les boules au hasard et successivement l'une après l'autre, sans remise, jusqu'à l'o...


Exercice P55

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2009 Soit $~n~$ un entier naturel supérieur ou égal à 4. On dispose de trois urnes : $~U_1;U_2 ~~$ et $~~U_3$ . - L’urne $~U_1~$ contient 1 boule rouge et $~(...


Exercice P54

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2008 Une urne contient 4 boules : une blanche et 3 boules rouges toutes indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de cette urne, On note sa couleu...


Exercice P53

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2007 Soit $~n~$ un entier naturel impair non nul et supérieur ou égal à 3, On dispose de $~n~$ urnes numérotés de 1 jusqu’à $~n$. l’urne numéro $~k~$ contient $...


Exercice P52

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2006 On distribue au hasard quatre boules, indiscernables au toucher et numérotées par les chiffres 1, 2,3 et 4, sur six personnes A, B, C, D, E et F (chaque pers...


Exercice P51

Extrait Bac Maroc, Sc.Maths, Juillet 2005 Soit $~n~$ un entier naturel supérieur ou égal à $~20$ . Une urne contient dix boules blanches et $~(n-10)~$ boules noires, on suppose que toutes les ...


Exercice P50

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2004 Une urne contient dix boules blanches et dix boules rouges indiscernable au toucher. On tire au hasard une boule de cette urne ; si elle est rouge on la remet ...


Exercice P49

Extrait Bac Maroc Sc.Maths Juillet 2003 On dispose de deux urnes : - la première, notée $~U~$, contient 4 boules rouges et 4 boules bleues. - la deuxième, notée $~V~$, contient 2 boules rouges et...


Exercice P48

On considère le circuit de la figure qui contient 5 switch $S_i:~~ i=1,\cdots 4~$. Ces switchs peuvent être indépendamment fermés avec la même probabilité $p$. Calculer la probabilité pour le coura...


Exercice P47

On considère le montage électrique suivant dans lequel les 4 switchs $S_1$ à $S_4$ peuvent être indépendamment fermés avec une probabilité p. Calculer la probabilité pour que le courant passe à trave...


Exercice P46

Dans un jeux de 52 cartes on tire au hasard deux cartes successivement avec remise. On note $~X~$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'aces obtenus. Calculer: $~~~P(X=1)+P(X=2)$. ( rep ...


Exercice P45

On considère 2 urnes $~U_1~$ et $~U_2~$: $U_1~$: contient $~3~$ boules blanches et $~2~$ boules rouges. $U_2~$: contient une unique boule blanche. On procède comme suit: On jette une pièce...


Exercice P44

Soit $A,B$ 2 événement tels que: $$p(\overline{A\cup B})=\frac{1}{6}\quad p(A\cap B)=\frac{1}{4}\quad p(\overline{A})=\frac{1}{4}$$ les événements $~A,B~$ sont-ils: indépendants? justifier v...


Exercice P43

Deux nombres m et n compris entre 1 et 100 sont choisis au hasard. Quelle est la probabilité pour que le nombre $7^m+7^n$ soit divisible par 5 ( rép = $\frac{1}{4}$ ) ...


Exercice P42

Une usine produit des disques métallique plats dont le diamètre D est un nombre aléatoire compris entre 4,1 et 4,3. Un disque est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son aire soit au moi...


Exercice P41

Sur des balles identiques on écrit les nombres $~a_1,a_2,\cdots,a_n$. On tire au hasard une balle et on note son numéro. Soit $~X~$ est la variable aléatoire représentant le numéro écrit sur la ...


Exercice P40

On jette une pièce de monnaie 2 fois. On désigne par $~X~$ la variable aléatoire correspondant au nombre de face obtenues. Calculer l'espérance de $~X$. ...


Exercice P39

Dans un jeu de 52 cartes on tire successivement 3 cartes avec remise. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombres de cartes pique tirées. Déterminer l'univers associé à l'expérience alé...


Exercice P38

Une usine dispose de deux machines $~A~$ et $~B~$ pour fabriquer des filtres de Gasoil. $\frac{1}{3}~$ de la production est assuré par $~A$ $\frac{2}{3}$ restants étant assurés par $~B$ Une é...


Exercice P37

Extrait Bac 2013 France: Une usine de composantes électrique dispose de deux unités de production $A$ et $B$. La production journalière de l'unité $A$ est de 600 pièces, celle de $B$ est 900 pièces....


Exercice P36

Dans une région du monde, la probabilité $~p~$ pour qu'une personne vit jusqu'à l'âge de: 80 ans est $~~p=0.75$ 90 ans est $~~p=0.63$ Calculer la probabilité qu'un $~80~$ ans atteigne l'âge d...


Exercice P35

On tire au hazard deux nombres des chiffres de 1 à 9. Calculer la probabilité que les deux chiffres soient impairs sachant que leur somme est paire. (rép=$\frac{5}{8}$) ...


Exercice P34

On jette deux dés bien équilibrés. calculer la probabilité pour que la somme obtenue soit supérieure ou égale à 10 sachant que: le premier dé a donné 5 (rép=$\frac{1}{3}$) l'un au moins de deux...


Exercice P33

On dispose de 3 boites contenants des ampoules électriques: Boite 1: 8 ampoules dont 4 sont défectueuses. Boite 2: 6 ampoules dont 2 sont défectueuses Boite 3: 2 ampoules dont 3 sont défectu...


Exercice P32

24 boules, dont 4 sont rouges, sont réparties sur 4 urnes: $~A,B,C~\text{et}~D$ de façon que chaque urne contient 6 boules. Sachant que l'urne $~A~$ contient une seule boule rouge; quelle est la pr...


Exercice P31

Une boite contient 15 pièces dont 5 sont défectueses. on tire au hasard 3 pièces. Quelle est la probabilité pour qu'aucune des 3 pièces ne soit défectueuse. (rép $=\frac{10}{15}\frac{9}{14}\frac{8}{...


Exercice P30

Un homme rend visite à une famille qui a deux enfants. Un garçon rentre dans la pièce. Calculer la probabilité pour que l'autre enfant soit aussi un garçon dans les deux cas suivants: Si l'on sa...


Exercice P29

On jette deux dés simultanément et on considère les deux évènement suivants. $A$ = "la sommes des issues des deux dé est 6". B="l'un des deux dés affiche le nombre 2" Déterminer explicitement $A...


Exercice P28

Dans une classe il y a 5 filles et 7 garçons. sachant qu'il y a deux garçons $~A~$ et $~B~$ qui refuse de faire partie de la même équipe. De combien de façon peut-on former des équipes de 2 filles...


Exercice P27

combien de nombre à 7 chiffres, dont la somme des chiffres est égale à 10, et qui soit formé uniquement avec les chiffres $~1,2~$ et $~3~$. $~(rép=77)~$ ...


Exercice P26

Combien de nombres à 4 chiffres strictement supérieur à 4321 peut-on former avec les chiffres $~0,1,2,3,4~$ et $~5~$ (la répétition est autorisée.) $(rép=310)$ ...


Exercices P25

Combien d'entier naturel supérieur à 6000 que l'on peut former avec les chiffres $~3, 5, 6, 7~$ et $~8~$ sans répétition $(rép=192)$...


Exerice P24

Soient $A$ et $B$ deux évènements tels que: $$P(A=0.8)\qquad\mbox{et}\qquad P(B)=0,4$$ Peut-on avoir $P(A\cap B)=0,1$ Si $P(A\cap B)=0,4$ Que peut-on déduire? calculer $P(A\cap B)$ lorsque $A...


Exercice P23

Trois chasseur possèdent respectivement les performances suivantes: Le premier effectue trois tir réussis sur 5 Le deuxième effectue 2 tirs réussis sur 3 Le troisième effectue 3 tirs réussis ...


Exercice A67

Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $~~\sqrt 2~~$ n'est pas un rationnel. Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un coupl...


Exercice A66

Dans cet exercice on propose de montrer que: $$\prod\limits_{k=1}^{n}{(k^4+k^2+1)}~~$$ n'est pas un carré parfait pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. Soit $~k\in\mathbb{N}^\ast$. En effectuant u...


Exercice A65

Résoudre dans $~~\mathbb{Z}^2~~$ l'equation suivante: $$xy+3x-2y-17=0$$ ...


Exercice A64

Soit $(a,b)$ dans $\mathbb{Z}^2$ On se propose de résoudre le système suivant: $$(S)\quad\begin{cases} a^2+b^2&=801\\ \text{lcm}(a,b)&=120 \end{cases}$$ Démontrer que l'equivalence suivante pou...


Exercice A63

Montrer qu'il n'existe aucun carré parfait parmi la suite des entiers suivants: $$11~;~~~111~;~~~1111~;~~~11111~;~~~11\cdots 1~;\cdots$$...


Exercice A62

En utilisant les congruences modulo 9 et 11 trouver le chiffre $x$. $(\overline{51840})_{10} \times (\overline{273581})_{10} = (\overline{1418243x040})_{10}$. $(\overline{2x99561})_{10} = [3(523...


Exercice E53

On considère les ensembles suivants : $E ~=~\mathcal{C}^0\left(\mathbb R~;~\mathbb R\right)~~~$: Espace des fonctions réelles continues sur $\mathbb R.$ $F~=~\mathcal{C}^1\left(\mathbb R~;~\mathb...


Exercice E52

Soient $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $F, G$ et $H$ trois sous-espaces de $E$. Montrer que : $(F \cap G) + (F \cap H) \subset F \cap (G+H)$. A-t-on toujours l'égalité ? Montrer que : $...


Exercice E51

Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel. Soient $A, B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ vérifiant \[A \cap C \subset B \qquad C\subset A+B \qquad \text{et} \qquad B \subset C . \] ...


Exercice E50

Soit $E$ un espace vectoriel, et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F \cap G$ est un sous espace vectoriel de $E$. Montrer que $F \cup G$ est un sous espace vector...


Exercice E49

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 2, toute suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par : \begin{align*} &u_{n+2} ~= ~au_{n+1}+bu_n~,~~~\for...


Exercice E48

Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 1 Pour $a\in\mathbb R,$ on désigne par $E_a$ le sous-ensemble de $\mathbb R^{\mathbb N}$ défini par : $$E_a~=~\left\{ ~ (u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}...


Exercice E47

Pour tout $~(a,b)\in\mathbb R^2,~$ on pose: $$~M(a,b)~=~\left(\begin{array}{cc} a+\frac{\sqrt{2}}{2}b&-\frac{\sqrt{2}}{2}b \\ \\ \frac{3\sqrt{2}}{2}b&a-\frac{\sqrt{2}}{2}b \end{array}\right).$$ On co...


Exercice E46

Construction de $\mathbb C$ Montrer que les matrices \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array}\right)~,\qquad K= \left(\b...


Exercice E45

On note $~\left(J_1,~J_2,~J_3,~J_4\right)~$ la base canonique de $~\mathcal{M}_2(\mathbb R).~$ Soit $~f~~$ l'application définie sur $~\mathcal{M}_2(\mathbb R)~$ par: \[f~:~M=\left(\begin{array}{cc...


Exercices E44

On considère les matrices suivantes de $~\mathcal{M}_4(\mathbb R)~$: \[I=\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1...


Exercice E43

Soient $E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $~~\le 2$. Soit $$F=\left\{P\in E \, | \, P(1)=P'(1)=0\right\}.$$ Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Déte...


Exercice E42

Soit $~E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\le 2$. Montrer que $(1,X,X^2)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=3$. Montrer que pour tout $i\in\{0,1,2\},$~il existe u...


Exercice E41

Répondez par oui ou par non aux assertions suivantes, en justifiant votre réponse. Si $E=\mathbb R[X]$ est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes; alors l'ensemble des polynôme...


Exercice E40

On définit sur $~~\mathbb R~~$ les lois suivantes: \[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\] $\mathbb R$ munit de l'addition...


Exercice E39

Soit $E~=~\left\{z\in\mathbb C~~/~~\text{Im}(z)>0\right\}$. Pour tous $z=a+ib,~ z'=a'+ib'~$ de $E$ et tout réel $~\lambda~$ on définit: \[z\oplus z'=(a+a')+ibb'\qquad \quad \lambda\odot z=\lambda ...


Exercice E38

Soit: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right)$$ et: $$F=~\left\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb R)~~/~~AM=MA=M\right\}$$ Montrer que $~\left(F~,~+~\textbf{.}\right)~$ e...


exercice E37

Soit $E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -2b&a+2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)~~/~~(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$ Montrer que $~\left(E~,~+~\textbf{.}\right)~$ est...


Exercice E36

Soit: $$E=\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a&-b \\ 3b&a-2b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)~~/~~(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+\cdot \right)~$ est ...


Exercice E35

Soit: $$E=~\left\{M_{a,b}=\left(\begin{array}{cc} a+b&a \\ a&-a+b \end{array}\right)\in\mathcal{M}_2(\mathbb R)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$ Montrer que $~\left(E~,~+~\cdot\right)~$ est un...


Exercice E34

Soit: $$F~=~\left\{A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ -b& a \end{array}\right)\qquad :(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$. Montrer que $F$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel. Donner une base et la dime...


Exercice E33

On désigne par $~~E~~$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $~2~$ de la forme: $$~\left(\begin{array}{cc} a&c \\ 0& b \end{array}\right),~$$ où $~a, b~$ et $~c~$ sont des nombres réels. ...


Exercice E32

Soit $~~(a,b,c,d)\in\mathbb R^4.~~$. On définit la fonction $f_{a,b,c,d}$ comme suit: \begin{align*} f_{a,b,c,d}:\mathbb R &\to \mathbb R\\ x&\longmapsto (a+bx)\sin(x)+(c+dx)\cos(x) \end{align*} ...


Exercice E31

Dans l'espace vectoriel $~~\mathcal{F}(\mathbb R~;~\mathbb R)~~$, les fonctions suivantes sont-elles linéairement indépendantes ? \[f(x)=\sin(x) \qquad ;\qquad g(x)=\sin(2x) \qquad ;\qquad h(x)=\sin(...


Exercice E30

Dans l'espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathbb R~;~\mathbb R)$. On considère les fonctions : \[f(x)=\cos(x) \quad ;\quad g(x)=\cos(x)\cos(2x) \quad ;\quad h(x)=\sin(x)\sin(2x).\] Donner la dimension ...


Exercice E28

Soient: \[E=\left\{P\in\mathbb R_3[X]~~/~~ P(-1)=0\right\}\qquad\text{et}\qquad F = \left\{P\in\mathbb R_2[X]~~/~~ P(1-X)=P(X)\right\}\] Montrer que $~~E~~$ et $~~F~~$ sont des $~~\mathbb R~$- esp...


Exercice E27

Soit $\qquad(n\in\mathbb N^\ast~)\qquad\mbox{et} \qquad (~A\in\mathcal{M}_n(\mathbb R)~)$ On pose: \[F=\left\{ M\in\mathcal{M}_n(\mathbb R) ~~/~~ AM=0\right\}\qquad \text{et}\qquad G=\left\{ M\in\...


Exercice E26

Soit $$A=\left(\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\end{array}\right)$$ On pose: $$K=\left\{ V\in\mathbb R^3 / AV=0\right\}$$ Montrer que $K$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb ...


Exercice E25

Dans $~~E = \mathbb R^3~~,$ on considère les ensembles: $$F = \{~(x, y, z) ~:~ x + y - z = 0~\} \qquad \text{et}\qquad G = \{~(x, y, z) ~|~ x + y - 2z = 2x - y - z = 0~\}$$ Montrer que $~F~$ et...


Exercice E24

Dans $\mathbb R^4$ on considère les vecteurs \[u~=~(1,0,1,0),~v~=~(0,1,-1,0),~w~=~(1,1,1,1),~x~=~(0,0,1,0), ~y~=~(1,1,0,-1).~\] Soient: $F:$ l'espace vectoriel engendré par $(u;v;w)$ $G:~$ cel...


Exercice E23

Soient: $F = \{(2a, a+b, 2b) ~|~ a,b\in\mathbb R \}$ $u(1,1,1)~,~v(1,0,-1)~:~$ deux vecteurs de $~~\mathbb R^3.$ Montrer que $~F~$ est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs $~u~$ et...


Exercice S35

On note: $$\mathbb Q[\sqrt 2]=\left\lbrace a+b\sqrt 2:\quad (a,b)\in \mathbb Q^2\right\rbrace$$ Montrer que $~~(\mathbb Q[\sqrt 2],+,\times)~~$ est un corps. Soit $~K~$ un corps tel que: $~~K\s...


Exercice S34

Soit $~~j = e^{i\frac{2\pi}{3}}~~$; on rappelle que: $$j^3 = 1\qquad \mbox{et} \qquad 1+j+j^2 = 0$$ On note: $$\mathbb Z[j] =\left\lbrace a+bj: (a,b)\in \mathbb Z^2\right\rbrace $$ Montrer que...


Exercice S33

On note: $$\mathbb Z_i =\left\lbrace~~~\frac{a}{b}\qquad \text{avec:}~~(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z^* ~~\text{et $~~b~~$ un entier impair} ~~~ \right\rbrace$$ Montrer que $(\mathbb Z_i ,+,\t...


Exercice S32

On définit sur $~~J = [1,+\infty[~~$ la loi $~\bot~$ définie par : $$a\bot b = (\sqrt a +\sqrt b -1)^2$$ Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition interne dans $~J~$. Montrer que $~\bot~$...


Exercice S31

Sur $~~ I=]1,~~ + \infty [~,~$ on définit la loi $~\ast~$ par: $$a\ast b=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+2}$$ Démontrer que $~~a^2b^2-a^2-b^2+2~~=(a^2-1)(b^2-1)+1$ Montrer que $~~\ast~~$ est une loi de c...


Exercice S30

On considère l’ensemble $~~G~~$ des applications $~~f_{a,b}~~$ de $~~\mathbb C~~$ vers $~~\mathbb C~~$; telles que : $$f_{a,b}(z)=az+b$$ où $~~ a\in\{1,-1,i,-i\}\qquad b=p+iq\qquad \text{avec}\qqua...


Exercice S29

On considère l’ensemble $~~G~~$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$\dfrac{1}{1-x^2}~\begin{pmatrix} 1&x\\x&1 \end{pmatrix} ~~\qquad \text{où}~~x~\in~]~-1~,~1~[$$ Montrer que $~~(G,\time...


Exercice S28

On considère l’ensemble $F$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$M_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha} \end{pmatrix}$$ Montrer que $~~(F,\ti...


Exercice S27

On considère l’ensemble $E$ des matrices carrées d’ordre 2 de la forme: $$\begin{pmatrix} a&b\\1-a&1-b \end{pmatrix} ~~\text{où}~~(a,b)\in\mathbb C^2$$ Montrer que $~E~$ est stable pour la mult...


Exercice S26

On note: $$G=\{~ a+b\sqrt 3,~~(a,b)\in \mathbb{Z}^2,~~/ ~~a^2-3b^2=1~\}$$ Montrer que $~~G\subset \mathbb R^*$ Montrer que $~~(G,\times)~~$ est un sous groupe de $(~~\mathbb R^\ast,\times~~)$ ...


Exercice S25

Soit $(A,+,\times)$ un anneau unitaire. Un élément $~a~$ est dit nilpotent s'il existe $~n\in \mathbb N^\ast ~$ tel que: $~a^n=0$ Le plus petit entier $n\ge 1$ pour lequel $~a^n=0~$ est appelé indic...


Exercice S24

On se propose de montrer qu'il existe aucun morphisme d'anneaux entre $(~~\mathbb Z[\sqrt 2],+,\times ~~)$ vers $~~(~\mathbb Z[\sqrt 3],+,\times~)~~$. Pour ce faire on raisonne par l'absurde. Soit $f...


Exercice S23

Soit G un groupe et A une partie non vide de $~G$. On appelle sous groupe engendré par $~A~$ le plus plus petit sous groupe contenant $~A$. Soit $~x\in G$. Démontrer que le groupe engendré par $...


Exercice S22

Partie A: On considère l'ensemble $$\mathcal A=\left\lbrace A_{a,b}= \begin{pmatrix} a&2b\\b&a \end{pmatrix}: \quad (a,b)\in \mathbb{Z}^2 \right\rbrace$$ On munit $~\mathcal{A}~$ de l'additio...


Exercice S21

On considère $\mathcal{M}$ le sous ensemble des matrices des matrices carrés réelles : $$\mathcal{M}=\left\lbrace A_{a,b}=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}:\quad(a,b)\in \mathbb{R}^2\right\rbrace...


Exercice P22

10 souris se cachent au hasard dans 10 boites. Quelle est la probabilité des évènements suivant. aucune boite vide on a exactement une boite vide on a exactement 5 boites vides . Dans ce d...


Exercice P21

On donnes quatres localités $~A,B,C~$ et $~D~$ avec les différents chemins les reliants. Combien existe de chemin sans cycle pour se rendre de A vers D. ...


Exercice P20

Problème classique de l'anniversaire: une classe contient $~30~$ élèves. On considère l'évènement $~A~$ suivant: "Il y a au moins deux élèves de cette classe qui ont leur anniversaire le même jour."...


Exercice P19

Docteur Adnan a 520 patient dont: 230 hypertendus 185 diabétiques 35 hypocondriaques 25 ont les trois maladies 150 n'ont aucune des 3 maladies 140 hypertendu seulement 15 à la fois hy...


Exercice P18

Soit $~(n,p)~$ deux entiers naturels tels que: $~p\leq n~$ On désigne par: $E=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}~~$, un ensemble, contenant $~n~$ nombres réels, deux à deux distincts fixés. $E^p=E\times E\...


Exercice P17

6 couple mariés se trouvent dans un restaurant. On choisit deux personnes au hasard. quelle est la probabilité pour que: ces personnes soit mariées l'une d'elles soit soit un homme et l'aut...


Exercice P16

Une urne contient 8 boules numérotées de 1 à 8. Calculer la probabilité que la somme de leurs numéros soit impaire dans les cas suivants: Tirage simultané des deux boules Tirage des boules, ...


Exercice P15

Dans un institut il y a des étudiants dont : $25\%~$ des étudiants d'un institut sont des filles ; $10\%~$ des étrangers ; $20\%~$ sont logés dans le campus universitaire. On tire au hasa...


Exercice P14

Dans une population: $~25\%~$ lisent le journal $~A~$; $~20\%~$ lisent le journal $~B~$; $~13\%~$ lisent le journal $~C~$; $10\%~$ lisent $~A~$ et $~B~$; $~8\%~$ lisent $~A~~$ et $~C~$; ...


Exercice P13

Dans une urne se trouvent 6 boule dont 4 sont rouges et 2 sont vertes. 5 personnes tirent sans remise l'une après l'autre chacun une boule. Sachant que le premier qui tire une boule verte sera déc...


Exercice P12

si on prend au hasard une application: $$f:\{1,2,3,4,5\}\to \{1,2\}$$ Quelle est la probabilité qu'elle soit surjective. ...


Exercice P11

A partir d'un lot de 15 pièce dont 5 sont défectueuses; on tire au hasard 3 pièces. Calculer la probabilité des évènement suivants: Aucune pièce défectueuse parmi ces trois pièces. Au moins une...


Exercice P10

On lance 2 dés simultaneiment, et on considère les événements suivants: Evènement A: "On obtient le même numéro pour les 2 dés" Evénement B: "la somme des numéros obtenus est inférieure ou égale à 4...


Exerice P9

Soient $A,B$ deux évènements tels que: $~0\lt P(B)\lt 1$ On suppose que: $~P(A|\bar{B})=\frac{P(A)}{1-P(B)}$ Montrer alors que: $P(A\cap B)=0$ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ $P(A|B)=0$ ...


Exercice P8

On tire au hazard 2 nombres successivement et sans remise de l'ensemble $~\{1,2,3,4,5,6\}~$ Quelles est la probabilité pour que le minimum de ces deux nombres soit inférieur où égal à 4. ...


Exercice P7

On donne les ensembles $(A,35),(B,40),(C,45),(A\cap B,13),(A\cap C,12),(B\cap C,14),$ $(A\cap B\cap C,5)~$ où par exemple $~(A,35)$ signifie card$(A)=35$ Tracer le diagramme de venn. On tire au...


Exercice P6

sachant que: $$P(A)=0.25\qquad P(B)=0.50\qquad P(A\cap B)=0.14$$ Calculer: $~~P(\bar{A}\cap \bar{B})$ ...


Exercice P5

un panier contient 6 chaussettes blanches et 6 chaussettes noirs. On tire simultanément 2 chaussette au hasard. Quelle est la probabilité qu'elles soit de la même couleur. ...


Exercice P4

Une urne contient 20 boules parmi lesquelle il y'en a 5 boules rouges. On effectue un tirage successif sans remise des boules l'une après l'autre. quelle est la probabilité $~p~$ pour que le dix...


Exercice P3

15 garçons de différents âges sont réparties en $~3~$ groupes de $~4,~5 ~\text{ et }~ 6~$ personnes. Quelle est la probabilité que les 3 plus jeunes soient dans des groupes différents....


Exercice P2

On lance simultanément 4 dés. Calculer la probabilité p pour que les quatre nombres obtenus soient tous différents. Calculer la probailité p pour que les 4 nombres obtenues soient consécutifs. ...


Exercice P1

$(E,p)$ un espace probabilisé, et $~A,B,C~$ trois évènements de $~E$. Montrer que: $~B=(B\cap A) \cup (B\cap\bar{A})~$ En déduire que: $$P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap\bar{A})$$ Tracer le diagramme...


Exercice S20

Soit $~(A,+,\times)~$ un anneau unitaire non commutatif. On définit sur A une nouvelle loi de composition interne $~\top~$ définie par: $$~x\top y=xy-yx~$$ Montrer que: $$x\top y=-(y\top x)~~\q...


Exercice S19

On munit le plan $\mathcal P$ d'un repère $(~O,~\vec i~,~\vec j~)$ pout tout $~a~$ dans $~\mathbb{R}^\ast_+,~$ on considère l'application définie par : \begin{align*}\varphi_a&:\mathcal P\longrighta...


Exercice S18

Soit $~(E,\ast)~$ un ensemble, non vide, muni d'une loi de composition interne $\ast~$. Soit $~f~$ une bijection de $~E~$ dans $~F~$. Soit F un ensemble non vide sur lequel on definit la loi $~\t...


Exercice S17

Soit $H$ un sous groupe de $\mathbb Z$. Dans cet exercie on se propose de montrer nécessairement $H$ est de la forme $~~n\mathbb Z~~$ pour un certain $~n~$ dans $\mathbb N$. On écarte le cas trivi...


Exercice S16

Anneau de Boole Soit $~A~$ un anneau unitaire tel que: $$\quad x^2=x\qquad (\forall x\in A)$$ Montrer que: $\quad x+x=0\quad (\forall x\in A)$ Montrer que $~~A~~$ est un anneaux commutatif M...


Exercice S15

Axiomes faibles d'un groupe Soit G un un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne vérifiant les propriétés suivantes: la loi * est associative. il existe $~e\in G~~$ tel que: $~~...


Exercice S14

Déterminer tous les sous groupes de: $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}~,~+~)~,~(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}~,~+)~,~(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~,~+~ )~,~(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}~,~+~)$ Montrer que, dans $~E=(\mathbb...


Exercice S13

Soit $~G~$ un groupe et $~A,B~$ deux sous groupe de $~G~$. On définit: $$AB=\{ab:~~ (a,b)\in A\times B~\}$$ Montrer que: $~~A\cup B \subset{AB}$ Montrer l'équivalence: $$AB~~ \text{est un so...


Exercice S12

Soient: $E=\mathbb{R^*\times R}~~ \text{ et }~~G=\{f_{(a,b)}: (a,b)\in E\}$ Avec: \begin{align*}f_{(a,b)}:~~& \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\\ &x\longmapsto ax+b\end{align*} On munit E de la...


Exercice S11

${\color{blue}{\textbf{Partie A:}}}$ Soit $~(G,*)~$ un groupe non commutatif. On appelle centre de $~G~$ l'ensemble $~H~$ des éléments $~a~$ de $~G~$ tels que: $$ a\ast x=x\ast a\qquad\quad (~\f...


Exercice S10

Soit $~(G,\cdot)~$ un groupe d'element neutre, $~e~$. On suppose, en plus que: $$x^2=e\qquad (\forall x\in G)$$ Montrer $~(G,.)~$ est un groupe commutatif. ...


Exercice S9

Soit $~E~$ un ensemble quelconque non vide et $~(\mathcal{P}(E),\Delta)~~$ désigne l'ensemble des parties de $~E~$ muni de la différence symétrique. On rappelle que: $$A\Delta B=(A\backslash B)\cup...


Exercice S8

Soit $~(G,\ast)~$ un groupe contenant 2 éléments i.e $~~G=\{e,a\}$ Donner toutes les tables de multiplications possibles de $~(G,\ast)~$ même question pour un groupe un groupe à 3 éléments. On...


Exercice S7

Soit $~(G,\ast )~$ un groupe et $~a\in G~$. On définit les applications définies sur $~G~$ par: $$f(x)=a\ast x ~~ \text{et}~~ g(x)=x\ast a$$ Montrer que $~~f~~$ et $~~g~~$ sont bijectives. On ...


Exercice S6

Soit $~\alpha~$ un nombre réel. on désigne par $~M_{\alpha}~$ la matrice définie comme suit: $$M_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha}\\ \end{pmatrix}$$ ...


Exercice S5

On définit sur $~~\mathbb R~~$ la loi $~\ast~$ par : \[ x\ast~y~=~xy+ \left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\qquad \forall (x~,~y)\in \mathbb R^2. \] $\ast~$ est-elle commutative ? associative ? ...


Exercice S5

On pose $~E~=~\left]-1~;~1\right[.~$ On définie sur $~E~$ la loi $\mathbb{T}$ par : \[ x\mathbb{T}~y~=~\dfrac{x+y}{1+xy}\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in E^2. \] Montrer que $~\mathbb{T}~$ est...


Exercice S4

On définie sur $~I=\left]1~;~+\infty\right[~$ la loi $\bot$ par : \[ x~\bot~y~=~\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in I^2. \] Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition i...


Exercice S3

Soit $~\ast~$ la loi de composition interne définie sur $~\mathbb Z~$ par: \[ x\ast~y~=~x+y-2\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in\mathbb Z^2 \] Montrer que $~\ast~$ est commutative et associative d...


Exercice S2

On note $~E~$ l'ensemble: $~E=\{0,1,2,3,4,5\}$. On définit dans $~E~$ une loi $~\ast~$ de la manière suivante : pour tout couple $~(a,b)~$ d'éléments de $~E~$, $(~a~\ast~b~)~$ est le reste de la di...


Exercice S1

Les questions sont indépendantes. La division est-elle une loi de composition interne dans l'ensemble $\mathbb Z$ des entiers relatifs ? Dans l'ensemble $\mathbb Q^*$ des nombres rationnels ...


Exercice E22

Soient $$F = \{(x, y, z) ~|~ x + y - z = 0\} \qquad \text{et}\qquad G = \{(a-b, a+b, a-3b) ~|~ a,b\in\mathbb R\}.$$ Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$. Dét...


Exercice E21

Montrer que dans $~~\mathbb R^2~~$ les deux vecteurs: $$~~u = (1, 1, 0),~~~~v = (1, 0, 1)$$ engendrent le même sous-espace vectoriel que les vecteurs: $$~~x = (1, 3, -2),~~~~y = (1, 4, -3)$$....


Exercice E20

Déterminer un système d'équations des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$ engendrés par les vecteurs suivants : $~u_1 = (1, 2, 3)$. $~u_1 = (1, 2, 3)~~$ et $~~u_2 = (-1, 0, 1)$. $~u_1 = (...


Exercice E19

Soit: $$~E = \left\{~P \in \mathbb R_3[X]: ~~ P(-1) = 0 ~~~\text{ et }~ ~~P(1) = 0~\right\}$$ Montrer que $~E~$ est un sous-espace vectoriel de $~\mathbb R_3[X]$ Déterminer une base et la dim...


Exercice E18

Soit: $$P_1=X^2+1,~~~ P_2=X^2+X-1,~~~P_3=X^2+X$$ Montrer que la famille $~\left(P_1,P_2,P_3\right)~$ est une base de $~\mathbb R_2[X].$...


Exercice E17

Déterminer une base des sous-espaces vectoriels suivants et en déduire leur dimension. $F_1 = \left\{(x, y) \in \mathbb R^2 ~~/~~ x - y = 0\right\}~~~$ dans $~\mathbb R^2$. $F_2 = \left\{(x, y,...


Exercice E16

Dans $\mathbb{R}^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3,\vec{e}_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres? $(\vec{e}_1,~2\vec{e}_2,~\vec{e}_3)$; ...


Exercice E15

Dans $~E=\mathcal F(\mathbb{R},\mathbb{R})~$ l'espace vectoriel des fonctions de $~\mathbb{R}~$ dans $~\mathbb R~$. On considère les fonctions: \begin{align*} f~&:~x~\mapsto~\cos(x)\\ g~&:~x~\maps...


Exercice E14

Soient $~a,~b~$ deux réels quelconques. On définit : \begin{align*} f~&:~ x~\mapsto~\sin(x)\\ f_a~&:~ x~\mapsto~\sin(x+a)\\ f_b~&:~ x~\mapsto~\cos(x+b)\\ \end{align*} Montrer que ces trois f...


Exercice E13

Soient $~a,b,c~$ trois réels quelconques. On définit : f_a~&:~ x~\mapsto~\sin(x+a)\\ f_b~&:~ x~\mapsto~\sin(x+b) \\ f_c~&:~ x~\mapsto~\sin(x+c) Montrer que ces trois fonctions sont liées....


Exercice E12

Soient 3 vecteurs $x, y~ $ et ~$ z~$ linéairement indépendants d'un espace vectoriel E. En est-il de même des vecteurs $~x + y,~ x + z~$~ et $~ y + z$ ? Justifier votre réponse....


Exercice E11

Sous-espaces de $\mathbb{R}^{n}$ Montrer que les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^3$: $E_1=\left\{ (x;y;z)\in\mathbb{R}^3 \ /\ x+2y=z\right\}$ $E_1=\left\{ (x;...


Exercice E10

sous-espaces vectoriels de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ Déterminer si les parties suivantes sont des sous espaces vectorielles de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ $E_1=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \...


Exercice E9

Sous-espaces de $~\mathbb{R}[X]$ $\mathbb{R}[X]$ désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels. Déterminer si les ensembles suivants sont ou ne sont pas des sous-espaces vectoriels de $\l...


Exercice E8

Sous espaces vectoriels de $~~\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ Soit $~E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}~$ l'espace vectoriel des suites numériques. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de...


Exercice E7

Souespaces de $\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right):$ Soit $~E=\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right),~$ l'espace vectoriel réel des fonctions numériques définies sur $\mathbb {R...


Exercice E6

Sous-espaces de $~\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right)$ Soit $~E=\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right)~$ l'espace vectoriel réel des fonctions numériques définies sur $\mathbb {...


Exercice E5

On considère les ensembles suivants : $H_1=\left\{ (x;y;z)\in\mathbb{R}^3 \ /\ x(y+z)=0\right\}$ $H_2=\left\{ f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}) \ /\ \exists x\in\mathbb{R} \ /\ f(x)=0\righ...


Exercice E4

On considère les ensembles suivants : $G_1=\mathbb{Z}$ $G_2=\mathbb{Q}$ $G_3=\left\{ (x;y)\in\mathbb{R}^2 \ /\ x\geqslant y\right\}$ $G_4,~ $ensemble des fonctions réelles positives ou nulles. ...


Exercice E3

On considère les ensembles suivants : $E_1=\left\{ (x;y;z)\in\mathbb{R}^3 \ /\ x+y+z=1\right\}$ $E_2=\{P\in\mathbb{R}[X]~~\text{tel que}~~ P(0)=2\}$ $E_3= \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ c ...


Exercice E2

Soit $~E= \mathbb{R_+^\star}\times \mathbb{R_+^\star}~$ On définit l'addition $\oplus$ dans $~E~$ par: $$~(a,b)\oplus(c,d)=(ac,bd)$$ Et la loi externe $\odot$ par: $$\lambda\odot(a,b)=(1 , b^\lambd...


Exercice E1

Soit: $~E=\mathbb{R}_+^*\times\mathbb{R} .~$. On définit: l'addition dans $E$ par: $$~(a,b)+(c,d)=(ac,b+d)~$$ la loi externe par: $$\lambda.(a,b)=(a^\lambda , \lambda b).$$ Montrer que...


Exercice N30

On note $~(u_k)_{0\leqslant k\leqslant 4}~$ les racines cinquièmes de l'unité, $~(~u_k=e^{i\frac{2k\pi}{5}}~)~$. Montrer que : $$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=0$$ Montrer que : $~2\cos\left(\frac...


Exercice N29

Soit $~u~$, une racine septième de l'unité, différente de 1 Calculer: $$\quad u^2+u^4+u^6+u^8+u^{10}+u^{12}$$...


Exercice N28

Trouver les racines cubiques de $~(~2-2i~)~$ et de $~(~11+2i~)$. ...


Exercice N27

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation: $$~z^3 = 1$$ montrer que les racines s'écrivent $~1$, $j$, $j^2$. Calculer $~~1+j+j^2~~$ et en déduire les racines de la quadratique: $$~~1+z+z^2 =0$$. ...


Exercice N26

Soit $\theta\in[0~;~\pi].$ Résoudre l'équation $~z+\dfrac{1}{z}~=~2\cos(\theta).$ En déduire l'implication : \[z+\dfrac{1}{z}~=~2\cos(\theta)~\Longrightarrow~z^n+\dfrac{1}{z^n}~=~2\cos(n\thet...


Exercice N25

Résoudre dans $~~\mathbb{C}~~$ l'équation: $$~~z^2=~\overline{z}$$...


Exercice N24

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$z^6=1$$ $$\left(z-1\right)^6+\left(z-1\right)^3+1=0$$ ...


Exercice N23

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $\; z^2+z+1 = 0$; $z^2-(1+2i)z+i-1 = 0$ ; $z^2-\sqrt{3}z-i = 0$ $z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0$; $z^2-(3+4i)z-1+5i =0$; $4z^2-2z+1=0$ $z^4...


Exercice N22

Calculer les racines carrées de $~~\frac{1+i}{\sqrt{2}}$. En déduire les valeurs de $\;\cos(\pi/8)\;$ et $\; \sin(\pi/8)$. Calculer les valeurs de $~\cos(\pi/12)~$ et $~\sin(\pi/12)~$. ...


Exercice N21

Pour tout nombre complexe $\quad z\quad $ tel que $z \neq 1$, on considère les points $~~A,\quad M~~$ et $~~M'~~$ d'affixes respectives $~~1,~ z~$ et $~z'~ $ où $~z' = 1 + z^2$. Pour $z \neq 0$ e...


Exercice N20

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $~(\text{O},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})~$, unité graphique : 2~cm. On appelle A le point d'affixe $- 2i$. A tout point $~M~$ du plan d'af...


Exercice N19

Le plan complexe $~\mathcal{P}~$ est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{e_2}\right)~$, unité graphique 1 cm. Soit $~A~$ le point d'affixe $~...


Exercice N18

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère trois points $~A, B~$ et $~C~$ d'affixes respectifs $~a,~b~$ et $~c.$ Montrer les équivalences suivantes : $ABC~$ est un triangle...


Exercice N17

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. Déterminer, dans chaque cas, l'ensemble des points $~M~$ d'affixe $~z~$ vérifiant la relation donnée : $\left|z-2i\right|~=~4$ $\left|z-2i\right|~...


Exercice N16

Soient $~z~$ et $~z'~$ deux nombres complexes non nuls. Montrer l'équivalence \[~\left|z+1\right|=\left|z\right|+1~\Longleftrightarrow ~z\in\mathbb{R}^+\] En déduire que \[~\left|z+z'\right|...


Exercice N15

Soit $~z~$ un nombre complexe de module $\rho$, d'argument $~\theta~$, et soit $\overline{z}$ son conjugué. Calculer en fonction de $~\rho~$ et $~\theta~$ l'expression : $$S_n~=~(z+\overline{z})(z^2...


Exercice N14

Montrer que pour tous $(u,v) \in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$, on a : $$|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$$ Donner une interprétation géométrique de ce résultat...


Exercice N13

Soit $z$ un nombre complexe différent de 1; Démontrer l'équivalence des deux propostions : $\left|z\right|=1$ $\dfrac{1+z}{1-z}~~$ est un imaginaire pur ...


Exercice N12

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module $~1~$ tels que: $~~(zz'\neq -1)$. Démontrer que: $$\quad \dfrac{z+z'}{1+zz'}$$ est un réel....


Exercice N12

Ecrire les nombres suivants, sous forme exponentielle, puis, sous forme algébrique, où $n$ est un entier naturel et $~\theta\in\mathbb{R}$. $$~z_1=\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1+i}\right)^n$$ $$~z...


Exercice N11

Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 2$, on a : $$S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}$$ Calc...


Exercice N10

Soient: $~~n\in\mathbb{N}^*\quad$ et $\quad z\in\mathbb C\quad, $tels que: $~~|z|=1$ $z^{2n}\neq -1$ Montrer que: $\quad Z_n~=~\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}\quad$ est un réel. En utilisant la f...


Exercice N8

$\theta$ désigne un nombre réel. Déterminer un argument de chacun des nombres complexes suivants : $~z_1~=~\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_2~=~-\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ $~z_3~=~-\cos(\thet...


Exercice N9

Déterminer tous les nombres complexes non nuls $~z~$ tels que: $$\qquad\left|z\right|=\left|\dfrac 1z\right|=\left|1-z\right|$$ ...


Exercice N7

Soient: $$\quad A\left(-\frac{\sqrt{3}}3\right),~M(z)\quad\text{et}\quad M'(z')\quad$$ tels que :$$\qquad z'=(1+i\sqrt{3})z+i$$ Calculer l'angle: $$~~\widehat{\left(\overrightarrow{AM}~,~\overrigh...


Exercice N6

Soient $~z_1~$ et $~z_2~$ deux nombres complexes tels que : $$\quad |z_1|=|z_2|=1\qquad \text{et}\qquad |z_1+z_2|=\sqrt{3}$$ Calculer: $~~|z_1-z_2|.$ ...


Exercice N5

Déterminer le module et un argument de \[z~=~r~+~re^{i\theta}\qquad \text{où}~~\theta\in[0~;~2\pi[ \quad\text{ et}\quad r>0\] Déterminer le module et un argument du nombre complexe : $$\quad ...


Exercice N4

Soient $~a,b\in~]0~;~\pi[$. Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $ z_1=1+e^{ia}$ $z_2=1-e^{ia}$ $z_3=e^{ia}+e^{ib}$ $z_4=\dfrac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}$ Montrer qu...


Exercice N3

Calculer le module et un argument de $u$ et $v$: $$u =\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}\qquad\text{et}\qquad v = 1 - i$$. En déduire le module et un argument de $w$: $$w = \frac{u}{v}$$ En déduir...


Exercice N2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes : $$ iz+3(z-i)=0 $$ $$ \dfrac{z+1}{z-i}=-2i$$ $$2z+3i~\overline{z}=2-i $$ $$z^2=z~\overline{z} $$ ...


Exercice A61

Quels sont les restes des divisions euclidiennes de $~~2^{50}~~$ et $~~41^{65}~~$ par 7. Quel est le reste de la division euclidienne par 4 de la somme suivante ? $$1^5 + 2^5 + 3^5 + ... +...


Exercice A60

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation: $$670 x +100\equiv 0\mod 2014$$...


Exercice A59

Montrer que si $~n~$ est un entier naturel impair alors: $~n^2\equiv 1 \mod 8$ Montrer que si $n$ est un entier naturel impair alors: $n^{16}\equiv 1 \mod 2^6$ Soit p un nombre premier: $~(~p\ge...


Exercice A58

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ et l'entier $~m~$ sachant que: $$m=\overline{x3}_{(7)} =\overline{y4}_{(9)}$$...


Exercice A57

Soit $\quad p\in\mathbb{N^*}\quad \text{et} \quad n=\overline{\underbrace{44\cdots 44}_{\text{p chiffre 4}}\underbrace{88\cdots 88}_{\;(p-1)\text{ chiffre 8}}9}~~$ en décimal. Montrer que $~n~$ est u...


Exercice A56

Montrer que quelque soit la base $b\geq 3$ choisie, le nombre $\overline{102111}_b$ est un nombre composé....


Exercice A55

Un entier naturel s'écrit: 519 en base 10 $\overline{1341}$ en base $b$ Trouver $~b~$ Convertir le même nombre en base 11 ...


Exercice A54

Chercher tous les nombres premiers p pour lesquels $~8p^2+1~$ et $~8p^2-1~$ sont aussi premiers....


Exercice A53

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~~\mathbb{N}$: $$\quad 7\mid (4^{2^n} + 2^{2^n} + 1)$$...


Exercice A52

Montrer que pour tout $~n~$ dans $~\mathbb{Z}:$ $$ 6\mid (5n^3+n)$$ ...


Exercice A51

Soit $\;(a,b)\in \mathbb{Z^*}^2\;$. Montrer que: $$3\mid(a^3-b^3)\Longleftrightarrow 3\mid (a-b)$$ ...


Exercice A50

soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer que si $n$ est impair alors: $$\quad n^2=1\mod 8$$ Montrer que si $n$ est pair alors: $$\quad n^2=0\quad\textbf{ou}\quad 4\mod 8$$ Soit $a,b,c$ des ent...


Exercice A49

Soit p un nombre premier: $p\geq 5$ Montrer que: $$p^2=1\mod 3$$ Montrer que: $$(\exists\; q\in \mathbb{N}^*):\quad p^2-1=4q(q+1)\quad$$ et en déduire que: $$\quad p^2=1\mod 8$$ Montrer qu...


Exercice A48

On considère dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $(E):(x+1)^2=9+5y$ Montrer que si $(x,y)$ est une solution de (E) alors: $(x\equiv 1\mod 5)$ ou $(x\equiv 2\mod 5)$ Résoudre dans $\mathbb{Z}^2...


Exercice A46

Soit $~p~$ dans $~\mathbb{N}^*$. On pose: $$S=(2p-1)^2+(2p+1)^2+(2p+3)^2$$. On suppose que: $\quad S=\overline{xxxx}\quad $ en système décimal. Montrer que: $\quad 12p(p+1)=11(x\times \overline{...


Exercice A45

Déterminer les chiffres $~x~$ et $~y~$ pour que l'entier représenté en système décimal par: $\quad\overline{11x1y}\quad$ soit divisible par $~28~$....


Exercice A44

Monter que: $$(\forall b\in\mathbb{N})~(\forall k\in\mathbb{N}):~[b>1\Rightarrow b^k\geq 1+k(b-1)]$$ En déduire que: $$(\forall b\in \mathbb{N}):[b>1\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N}) (\exist...


Exercice A43

Soit p un nombre entier positif. Montrer que: $\quad p\mid C_p^k\quad$ pour: $\quad k=1,2,\cdots,p-1$ E déduire que pour tout couple $(a,b)$ dans $\mathbb{Z}^2$ on a: $(a+b)^p=a^p+b^p\mod p$ ...


Exercice A42

Trouver toutes les possibilités de faire un million en ajoutant un carré à un nombre premier....


Exercice A41

Parmi les entiers suivants, déterminer ceux qui sont premiers: $$115;\;181;\;411;\;1999;\;2011;\;2016;\;2017;\;121121121121121121121$$. ...


Exercice A40

Soit $~~(x,y)\in\mathbb N\times \mathbb N~~$ et considérons l'équation: $$2^x=3^y+1\qquad (E)$$ Vérifier que: $~~(x,y)=(1,0);(2,1)~~$, sont des solutions de $~~E~~$. Montrer que pour $~y\geq 2...


Exercice A39

L'espace affine $~~\mathcal E~~$ est muni d'un repère orthonormé $~~(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})~~$.\\ On considère les plans $~~\mathcal P_1 ~~\mbox{et} ~~\mathcal P_2~~$ définis par: $$\mathcal P_...


Exercice A38

Dans $~~\mathbb{Z}^2~~$ on considère l'équation: $$x^2+y^2=y^3\qquad (E)$$ Soit $~(x,y)~$ une solution de $~(E)~$ telle que: $\quad xy\neq 0$ Montrer que $~y^2~$ divise $~x^2~$ et en déduire qu...


Exercice A37

Déterminer les entiers naturels $~~a,b,c~~$ tels que: $$\begin{cases} a\land b=12 \\b\land c=18 \\a+b+c=102 \end{cases}$$...


Exercice A36

Soit $~~(a,b)~~$ des entiers non nuls. Montrer que: $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b ~~\mbox{ ou}~~ b|a~)$ $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$ Montrer l'équival...


Exercice A35

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation: $$x^2-y^2=5$$ Dans $\mathbb{Z}^2$ on considère l'équation:$$\quad(E):\quad x^6+3x^3+1=y^4$$ Montrer que $(x,y)$ est une solution de l'équation $(E)$...


Exercice A34

Dans $~~\mathbb{N^*}^2,~~$ on considère l'equation: $$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$ On pose: $$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$ Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ al...


Exercice A33

On considère l'application $f$ définie par: \begin{align*} f:\mathbb{N}^2&\to \mathbb{N^*}\\ (n,p)&\mapsto (2p+1)2^n \end{align*} Montrer que $~f~$ est injective. Montrer que $~f~$ est surje...


Exercice A32

Décomposer 319 en produits de facteurs premiers. Montrer que si $~x~$ et $~y~$ sont premiers entre eux, alors il en est de même pour: $(3x+5y)~$ et $~(x+2y)~$ Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ le sy...


Exercice A31

Soit $n\in \mathbb{N^*}$, on pose: $$\begin{cases} a_n=15n^2+8n+6\\b_n=30n^2+21n+13\\ \end{cases}$$ Calculer: $~~~b_n -2a_n~~$ et en déduire que: $~~a_n\land b_n=1$...


Exercice A30

Soit $~n\in \mathbb{Z},~$ on pose:$\quad A=3n+4\quad$ et $~~~B=9n-9$ déterminer selon les valeurs de $n\;$ le PGCD de $A$ et $B$. Déterminer toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles on a: $$\...


Exercise A29

Démontrer que: $\forall (a,b)\in \mathbb{Z}^2:\quad a\land b=1\Longleftrightarrow (a+b)\land (ab)=1$ En déduire que pour tout $(x,y)\in \mathbb{Z^*}^2$:\\ $(x+y)\land (x\lor y)=x\land y$ Résou...


Exercice A28

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls et premiers entre eux. On pose: $$A=ab\quad \text{et}\quad B=a^2+ab+b^2$$ Prouver que A et B n'ont aucun diviseur premier commun. En dé...


Exercice A27

Soit $p$ un nombre supérieur ou égal à 5. Montrer que: $$\quad p^2 +11=0\mod 12$$...


Exercice N1

Donner la forme algébrique des nombres suivants : $$z_1=\dfrac{3+6i}{3-4i} $$ $$z_2=\left({1+i}\right)^{2023}$$ $$z_3=\left({1-i}\right)^{{2024}}$$ $$z_4=\displaystyle\sum_{k=0}^{2023}{i^k}$...


Exercice A26

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes: $22x -6y=18$ $18x + 69y=2023$ $7x-56y=2023$ ...


Exercice A25

$\textbf{Représentation matricielle de la division euclidienne:}$ Soit (a,b) deux entiers naturels premiers entre eux. dzns cet exercice on se propose de trouver un couple d'entiers relatifs (x,y) te...


Exercice A24

Déterminer tous les couples: $~~\left\lbrace(a,b)\in\mathbb N^2:~~a\leq b~\right\rbrace$, qui vérifient: $$2(a\lor b) +7(a\land b)=57$$...


Exercice A23

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que: $$\quad a\land b=a\lor b$$...


Exercice A22

Résoudre dans $\mathbb{N}^2$ les systèmes suivants: $\quad\begin{cases} x\land y=2 \\\\ x\lor y=36 \\ \end{cases}$ $\quad\begin{cases} x\land y=60 \\\\x\lor y=3600 \\ \end{cases}$ ...


Exercice A21

Dans tout ce qui suit E désigne l'ensemble: $\mathbb{Z}/33\mathbb{Z}$ Soit: \begin{align*} \qquad\qquad f:&E\longrightarrow E\\ &x\longmapsto 17x+9 \end{align*} Résoudre $f(x)=0$ Montre...


Exercice A20

Soit à résoudre l'équation: $$(\mathcal E):\qquad x^2=33\mod 289 \qquad(\text{noter que: }~289=17^2)$$ Résoudre l'équation:$$x^2=33\mod 17$$ Résoudre l'équation $(E)$ ...


Exercice A19

Résoudre l'équation: $$x^2=3\mod 13$$ En déduire les solutions de l'équation: $$x^2-9x+1=0\mod 13$$ ...


Exercice A18

Résoudre les equations suivantes: $$7x=1\mod 17$$ $$7x=1\mod 23$$ Trouver l'entier $x:\quad ~~1\leq x\leq 390~~$ solution du système suivant: $$\begin{cases} 7x=1\mod 17 ...


Exercice A17

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$a\quad \textbf{est inversible dans }\quad \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}~\Longleftrightarrow~ a\land n=1$$...


Exercise A16

Soit $~n\in\mathbb{N}^*$ Montrer que: $$ (5n^3-n)\land(n+2)=(n+2)\land 38$$ Résoudre: $$(5n^3-n)\land(n+2)=19$$ ...


Exercice A15

Montrer que si $~a~$ et $~ b~$ sont deux entiers premiers entre eux alors il en est de même pour: \(~a~\) et \(~a+b\) $~b~$ et $~a+b$ $~~a+b~$ et $~ab$ ...


Exercice A14

Montrer que: $\quad \sqrt{\frac{7}{2}}\quad$ est un irrationnel...


Exercice A13

Déterminer le pgcd de deux entiers pairs consécutifs. Prouver que: $~~(\forall n\in\mathbb{Z}): n\land (n^2+1)=1$ ...


Exercice A12

Déterminer: $\quad 425\land 75 \land (-250)\land 300$...


Exercice A11

Déterminer par deux méthodes distinctes, $\quad (a\lor b)\quad $ et $\quad (a \land b)\quad$, dans les cas suivants: $~~a=215~$ et $~b=375$ $~~a=2016~$ et $~b=-375$ $~~a=-49~$ et $~b=-735$ ...


Exercice A10

Montrer que pour tout $x\in \mathbb{Z}:$ $$\quad x^3-x=0\mod 3$$ Montrer que: $$56^{2023}-1$$ est divisible par 11: Déterminer le reste de la division euclidienne par $~5~$ de:$\quad 3333^{22...


Exercice A9

On considère l'équation: $$(E_1):5x+3y=4$$ Résoudre dans $\; \mathbb{Z} \;$ l'équation: $\quad 2x\equiv 1\mod 3$ Montrer que si $(x,y)$ est solution de $(E_1)$ alors:$\quad 2x\equiv 1\mod 3 $...


Exercice A8

Résoudre dans $\quad\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ l'équation: $$\quad \bar 3\bar x + \bar 2\bar y =\bar 1$$ Déterminer tous les couples d'entiers relatifs, $~(x,y)~~$ qui...


Exercice A7

Montrer que tout $~~\bar x~~$ dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:\quad {\bar x}^3-\bar x=\bar 0~~$ En déduire que: $~~\quad 3\mid (n^3-n)~~$ pour tout $~~n~~$ dans $~~\mathbb{Z}~~$ ...


Exercise A6

Dresser les tables de multiplication de $~~\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}~~$ et de $~~\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$...


Exercice A4:

Effectuer les divisions euclidiennes de $~~a~~$ par $~~b~~$ dans les cas suivants: $$\begin{array}{lllrllr} a)& a & = & 251 & b & = & 47\\ b)& a & = & -507 & b & = & 59\\ c)& a & = & 385 & b & = ...


Exercice A3

Soit $~ (a,b,c)~$ dans $\mathbb{Z}^3$ et $(\alpha,\beta)\in \mathbb{Z}^2$: Montrer que si: $~~a\mid ~~b \text{ et } a~~\mid c~~$, alors: $~~a\mid(\alpha b +\beta c)$ En déduire que pour tout $\...


Exercice A2

Montrer que: $~~C_n^k=C_n^{n-k}$ En utilisant l'égalité: $~~(1+x)^{2n}=(1+x)^n(1+x)^n~$, montrer que: $$~~ C_{2n}^n=\sum\limits_{k=0}^n{\left(C_n^k\right)^2}$$ ...


Exercice A1

Calculer la somme suivante: $$S=\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k} $$ soit $n$ dans $\mathbb N^*$. Montrer en utilisant la formule du binôme de Newton que: $$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n...