Bac France-Guadeloupe 1998
On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini par : \[ P\left( z\right) =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7 \]-
- Calculer $P\left( i\right) $ et $P\left( -i\right) .$
- Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré, que l'on déterminera, tel que : \[ \text{pour tout }z\in\mathbb{C},\text{ }P\left( z\right) =\left( z^{2}+1\right) Q\left( z\right) \]
- Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P\left( z\right) =0.$
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ (unité graphique $2$ cm).
- Placer dans ce repère les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_{A}=i$, $z_{B}=-i,$ $z_{C}=-\sqrt{3}+2i$ et $z_{D}=-\sqrt{3}-2i$.
Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamètre $\left[ CD\right] .$ - Montrer qu'il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $C$ en $D.$ Calculer une valeur entière approchée à un degré près d'une mesure de l'angle de cette rotation.
- Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique,le rapport : \[ \frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}% \] Interpréter géométriquement le module et l'argument de ce rapport.