Extrait Bac France-Pondichéry 2008

Dans un repère orthonormal direct du plan complexe $~(O,\vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique $2~$cm, on considère les points $~A,~ B,~ C~$ et $~D~$ d'affixes respectives \[ z_{A} = -\sqrt{3} - i,\: z_{B} = 1 - i\sqrt{3},\: z_{C} = \sqrt{3} + i\quad ~~\text{ et } \quad z_{D} = - 1 +i\sqrt{3}. \]
    1. Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~z_{B},~z_{C}$ et $z_{D}$.
    2. Comment construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ ?
    3. Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
  2. On considère la rotation $r$ de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$.
    Soient $E$ et $F$ les points du plan définis par : $$E = r(A)~~~ \mbox{et} ~~~F = r(C)$$
    1. Comment construire à la règle et au compas les points $E$ et $F$ dans le repère précédent ?
    2. Donner l'écriture complexe de $r$.
    3. Déterminer l'affixe du point $E$.