Problème classique de l'anniversaire:
une classe contient $~30~$ élèves. On considère l'évènement $~A~$ suivant:
"Il y a au moins deux élèves de cette classe qui ont leur anniversaire le même jour."
Pour ce faire, On convient que l'année comprend 365 jours (On ne prends pas en compte les années bissectiles).
  1. calculer la valeur exacte de $~P(A)~$
  2. Dans cette partie on se propose de donner une valeur approchée acceptable de $~p(A)~$ en utilisant la formule dite de Stirling.
    Cette formule stipule que pour des valeurs suffisamment grande de $~n~$ on a: $$~n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}~$$ On posera: $$a_n=\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$
    1. Calculer: $~~k!~~,~~a_k~~\text{et}~~\left(~\frac{k!}{a_k}~\right)~~$ pour $~(~k=~5~;~10~;~~\text{et}~~12~)$.
      Quelle conclusion tirez-vous?
    2. Donner une valeur approchée de $~p(A)~$
  3. Donner une valeur approché de $~P(A)~$