Soit $\mathbb{Z}[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \mathbb{Z} \}$.
  1. Montrer que si $~\alpha~$ et $~\beta~$ sont dans $~\mathbb{Z}[i]~$ alors $~\alpha + \beta~$ et $~\alpha\beta~$ le sont aussi.
  2. Trouver les éléments inversibles de $\mathbb{Z}[i]$, c'est-à-dire les éléments $\alpha \in \mathbb{Z}[i]$ tels qu'il existe $\beta \in \mathbb{Z}[i]$ avec $\alpha\beta = 1$.
  3. Vérifier que quel que soit $\omega \in \mathbb{C}$ il existe $\alpha \in \mathbb{Z}[i]$ tel que $|\omega - \alpha| < 1$.
  4. Montrer qu'il existe sur $\mathbb{Z}[i]$ une division euclidienne, c'est-à-dire que,quels que soient $\alpha$ et $~\beta$ dans $\mathbb{Z}[i]~$ il existe un unique couple $~(q,r)~$ dans $~\mathbb{Z}[i]~$ vérifiant : $$ \alpha = \beta q + r \qquad \text{avec} \qquad |r| < |\beta|.$$ ( Indication : on pourra considérer le complexe $~\frac{\alpha}{\beta}$ )