On définie sur $~I=\left]1~;~+\infty\right[~$ la loi $\bot$ par : \[ x~\bot~y~=~\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+2}\qquad\qquad \forall (x~,~y)\in I^2. \]
  1. Montrer que $~\bot~$ est une loi de composition interne dans $I$.
  2. Montrer que $~\bot~$ est commutative et associative dans $I$.
  3. Montrer que $~\bot~$ admet un élément neutre.
  4. Montrer que tout élément de $~I~$ admet un symétrique pour la loi $~\bot~$. Que peut-on dire concernant la structure de $~(~I, ~\bot~)$
  5. Considérons l'application $f$ définie par: \begin{align*} f: I & \longrightarrow \Bbb{R}_+^{*}\\ x & \longmapsto x^2-1 \end{align*} Montrer que f est un isomorphisme de $(~I~,~\bot~)$ vers $(~\Bbb{R}_+^{*}~,~\times)$
  6. RĂ©soudre l'Ă©quation dans $I$ pour $a >1$ $$\underbrace{x\bot x \bot x \bot x \cdots \bot x}_{n \text{ fois}}=a$$