Dans cet exercice on se propose de démontrer en utilisant l'identité de Bezout que $~~\sqrt 2~~$ n'est pas un rationnel. Pour ce faire on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il existe un couple $~(a,b)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}^*~$ tels que: $$\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}\qquad\mbox{et}\qquad a\land b=1$$
  1. En utilisant Bezout démontrer qu'il existe $(r,s)\in\mathbb{Z}^2$ tels que: $$\begin{cases} ar+bs&=1\\ \sqrt 2&=2br+sa \\ \end{cases}$$ et qu'alors $~~\sqrt 2~~$ appartient $\mathbb{N}$
  2. Déduire de ce qui précède que $~~\sqrt 2~~$ n'est pas un rationnel.