Bac France-Amérique du Nord mai 2007

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ (unité graphique : 4~cm). Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \mathrm{i}$ et B le point d'affixe $z_{\text{B}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$.
  1. Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. On appelle C l'image de B par $r$.
    1. Déterminer une écriture complexe de $r$.
    2. Montrer que l'affixe de C est $z_{\text{C}} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$.
    3. Écrire $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme algébrique.
    4. Placer les points A, B et C.
  2. Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2, $- 1$ et 2.
    1. Montrer que l'affixe de D est $z_{\text{D}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\text{i}$. Placer le point D.
    2. Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle.
  3. Soit $h$ l'homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l'image de D par $h$.
    1. Déterminer une écriture complexe de $h$.
    2. Montrer que l'affixe de E est $z_{\text{E}}=\sqrt{3}$. Placer le point E.
    1. Calculer le rapport $\dfrac{z_{\text{D}}-z_{\text{C}}}{z_{\text{E}}-z_{\text{C}}}$. On écrira le résultat sous forme exponentielle.
    2. En déduire la nature du triangle CDE.