1. Monter que: $$(\forall b\in\mathbb{N})~(\forall k\in\mathbb{N}):~[b>1\Rightarrow b^k\geq 1+k(b-1)]$$
  2. En déduire que: $$(\forall b\in \mathbb{N}):[b>1\Rightarrow (\forall n\in\mathbb{N}) (\exists k\in\mathbb{N}^*):b^k>n]$$
  3. Soit $b\in\mathbb{N}$ tel que: $b\geq 2$. Montrer que: $$(\forall n\in\mathbb{N}^*)(\exists!\;k\in \mathbb{N} ): b^k\leq n\lt b^{k+1}$$