Soit $~~(a,b,c,d)\in\mathbb R^4.~~$. On définit la fonction $f_{a,b,c,d}$ comme suit: \begin{align*} f_{a,b,c,d}:\mathbb R &\to \mathbb R\\ x&\longmapsto (a+bx)\sin(x)+(c+dx)\cos(x) \end{align*} Soit: $$~~E= \left\lbrace f_{a,b,c,d}:~~(a,b,c,d)\in \mathbb R^4\right\rbrace $$ Considérons les fonctions suivantes :
\[f~:~x~\mapsto~\sin(x)\quad , \quad g~:~x~\mapsto~x\sin(x)\quad , \quad h~:~x~\mapsto~\cos(x)\quad , \quad k~:~x~\mapsto~x\cos(x).\] Montrer que la famille $~\mathcal{B} = (f,g,h,k)~$ est une base de $~E~$.