On munit le plan $\mathcal P$ d'un repère $(~O,~\vec i~,~\vec j~)$
pout tout $~a~$ dans $~\mathbb{R}^\ast_+,~$ on considère l'application définie par : \begin{align*}\varphi_a&:\mathcal P\longrightarrow \mathcal{P}\\ M(x,y)&:\longmapsto M'(x',y')\end{align*} Avec: \begin{cases} x'=x+\log a\\ \\ y'=ay \end{cases} On considère également l'ensemble: $~~F=\{\varphi_a : a\in \mathbb{R}^\ast_+ \}$

1. Démontrer que $\varphi_a\circ\varphi_b=\varphi_{ab}$
2. En déduire que $\circ$ est une loi de composition interne sur $F$.
3. On considère l'application: \begin{align*} f: \mathbb{R}^\ast_+&\longrightarrow F\\ a&\longmapsto \varphi_a \end{align*} Montrer que $~f~$ est un isomorphisme de $~~(\mathbb{R}^\ast_+,\times)~~$ dans $~~(F,\circ)~~$
4. En déduire la structure de $~(F,\circ)~$
5. En déduire le symétrique de $\varphi_a$ pour $a\in \mathbb{R}$