Une usine dispose de deux machines $~A~$ et $~B~$ pour fabriquer des filtres de Gasoil.
  • $\frac{1}{3}~$ de la production est assuré par $~A$
  • $\frac{2}{3}$ restants étant assurés par $~B$
Une étude a mis en évidence que:
  • $12\%~$ des pièces produites par la machine $~A~$ sont défectueuses
  • $9\%~$ des pièces produites par la machine $~B~$ sont défectueuses.
On définit les évènements suivants:
  • $A~$ = "la pièce prélevée provient de la machine $~A$"
  • $B~$ = "la pièce prélevée provient de la machine $~B$"
  • $D~$ = "la pièce prélevée est défectueuse "
  1. Déterminer $~p(A),~ p(B),~p(D)~p(A\cap D),~\text{ et }~p(B\cap D)$.
  2. Tracer l'arbre des probabilités.
  3. On prélève une pièce et on s'en rend compte qu'elle est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $~A$.
  4. On effectue un tirage, à leurs sortie de l'usine, sans remise, $~n~$ pièces l'une après l'autre.les prélèvements successifs sont supposés indépendants les uns des autres. Soit $~X~$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuse prélevées.
    1. Justifier que $~X~$ est une loi binomiale? quelles sont ses paramètres.?
    2. calculer $~p(X=k)$
    3. calculer l'espérance $~E(X)~$ et la variance $~Var(X)~$ en fonction de $~n$.