Sur $~~ I=]1,~~ + \infty [~,~$ on définit la loi $~\ast~$ par: $$a\ast b=\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+2}$$
  1. Démontrer que $~~a^2b^2-a^2-b^2+2~~=(a^2-1)(b^2-1)+1$
  2. Montrer que $~~\ast~~$ est une loi de composition interne dans $I$.
  3. On rappelle que $~~(\mathbb R,+ ,\times)~~$ est un corps commutatif.
    On considère l'application: \begin{align*} \varphi:\mathbb R^\ast_+ &\longrightarrow I\\ \qquad\qquad ~~x&\longmapsto \sqrt{x+1} \end{align*}
    1. Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme de $~~(\mathbb R^*_+,\times)~~$ vers $~~(I ,\ast)~~$
    2. En déduire la structure de $~~(I ,\ast)~~$
    3. Montrer que $~~\Gamma=\{\sqrt{1+2^m}:~~m\in \mathbb Z \}~~$ est un sous groupe de $~~(I ,\ast)~~$

Bac Maroc Session normale Juin 2012