Soit G un groupe et A une partie non vide de $~G$.
On appelle sous groupe engendré par $~A~$ le plus plus petit sous groupe contenant $~A$.
Soit $~x\in G$.
  1. Démontrer que le groupe engendré par $~a~$ est: $$~H_a=\{a^m: m\in \mathbb Z\}$$ (On pourra montrer que si $~K~~$ est un sous groupe contenant $~x~$ alors $~H_a\subset K$ )
  2. Soit $~(a,b)\in G^2~$ tels que: $~ab=ba~~$ Montrer que le sous groupe engendré par $~~(a,b)~~$ s'écrit: $$H_{a,b}=\{a^mb^n:~~(m,n)\in \mathbb{Z}^2\}$$
  3. On suppose maintenant que: $~~a^2=b^2=e~~$ et $aba=b$
    Déterminer le sous groupe engendré par $\{a,b\}$
  4. même question qu'en haut, avec: $$\quad a^4=e\qquad b^2=e\qquad aba=b$$