Sous espaces vectoriels de $~~\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ Soit $~E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}~$ l'espace vectoriel des suites numériques. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $E$. Justifier votre réponse.
  1. $E_1,~ $ensemble des suites arithmétiques.
  2. $E_3,~ $ensemble des suites convergentes.
  3. $E_5 = \{u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+2}=3u_{n+1}-4u_n\}$.
  4. $E_6 = \{(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}, \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0\}$.