Le plan est muni d'un repÚre orthonormal direct $~(\text{O},\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})~$, unité graphique : 2~cm.
On appelle A le point d'affixe $- 2i$.
A tout point $~M~$ du plan d'affixe $~z~$, on associe le point $M'$ d'affixe $~z'= -2\overline{z} + 2i.$
  1. On considÚre le point $~B~$ d'affixe $~b = 3-2\text{i}$. Déterminer la forme algébrique des affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et $B'$ associés respectivement aux points $~A~$ et $~B~$. Placer ces points sur le dessin.
  2. Montrer que si $~M~$ appartient Ă  la droite ($~\Delta~$) d'Ă©quation $~y = - 2~$ alors $~M'~$ appartient aussi Ă  ($~\Delta~$).
  3. Démontrer que pour tout point $~M~$ d'affixe $~z~, \left|z' + 2i\right| = 2|z + 2i|~$ ; interprétez géométriquement cette égalité.
  4. Pour tout point $~M~$ distinct de $~A,~$ on appelle $~\theta$ un argument de $~z + 2i$.
    1. Justifier que $~\theta~$ est une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}\right)$.
    2. Démontrer que $~(z+2i)(z'+2\text{i})~$ est un réel négatif ou nul.
    3. En déduire un argument de $z'+2i$ en fonction de $\theta$.
    4. Que peut-on en déduire pour les demi-droites $~[AM)~$ et $~[AM')~$?
  5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point $M'$ associé au point $M$.