Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé. On considère trois points $~A, B~$ et $~C~$ d'affixes respectifs $~a,~b~$ et $~c.$ Montrer les équivalences suivantes :
  1. $ABC~$ est un triangle équilatéral direct $\Longleftrightarrow a+jb+j^2c=0$
  2. ABC est un triangle équilatéral indirect $\Longleftrightarrow a+j^2b+jc=0$
  3. En déduire l'équivalence:
    $~ABC~$ est équilatéral $~\Longleftrightarrow~(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0.$
  4. ABC est isocèle en A $~\Longleftrightarrow~(a-b)(\overline{b}-\overline{c})-(c-b)(\overline{a}-\overline{c})=0.$
  5. ABC est rectangle en A $~\Longleftrightarrow~(a-b)(\overline{a}-\overline{c})+(a-c)(\overline{a}-\overline{b})=0.$
  6. A, B et C sont alignés $~\Longleftrightarrow~a\overline{b}+b\overline{c}+c\overline{a}\in\mathbb R.$