Partie A:

On considère l'ensemble $$\mathcal A=\left\lbrace A_{a,b}= \begin{pmatrix} a&2b\\b&a \end{pmatrix}: \quad (a,b)\in \mathbb{Z}^2 \right\rbrace$$ On munit $~\mathcal{A}~$ de l'addition et de la multiplication des matrice.
On considère $~~E=\mathbb Z [\sqrt 2]~~$ $$~E=\{~a+b\sqrt{2}:\quad (a,b)\in \mathbb{Z}^2\}$$ On admet que $~(E,+,\cdot)$ est un anneaux commutatif.
On définit également la fonction: \begin{align*} f:E&\longrightarrow \mathcal{A}\\ a+b\sqrt 2&\longmapsto A_{a,b} \end{align*}

1. Verifier que $\mathcal{A}$ est stable pour les deux lois.
3. Montrer que $f$ est un isomorphisme d'anneaux. en déduire la structure de $\mathcal A$
4. On considère la fonction $\mathcal N$ définie sur $E$ par: $\mathcal N(a+b\sqrt 2)=a^2-2b^2$.
Montrer que: $~~\mathcal N(a+b\sqrt{2})=det(A_{a,b})$
5. En déduire que $\mathcal N$ est multiplicative.\\
6. En déduire l'équivalence suivante: $$z~~\text{est inversible dans}~~ E \Longleftrightarrow \mathcal{N}(z)=\pm 1 $$

Partie B:

Maintenant on considère l'ensemble $~\mathcal F~$ défini de la même manière que $~\mathcal A~$ mais avec $~(a,b)~$ dans $\mathbb{Q}^2$.

1. Montrer que $\forall (a,b)\in\mathbb{Q}^2:\quad a^2-2b^2=0\Longrightarrow a=b=0$
2. En déduire la structure de $(\mathcal{F},+,\times)$
3. Résoudre dans $\mathcal{F}$ l'equation suivante:
$X^2-2X-I=0$