Soit $~E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynÎmes de degré $\le 2$.
  1. Montrer que $(1,X,X^2)$ est une base de $E$ et que $dim(E)=3$.
  2. Montrer que pour tout $i\in\{0,1,2\},$~il existe un unique polynÎme $P_i$ de $E$ tel que: \[P_i(i)=1 ~~~\text{et}~~~\forall i\neq j ,~~~~P_i(j)=0.\] Donner une formule pour ce polynÎme sans la développer.
  3. Montrer que la famille $(P_0,P_1,P_2)$ est libre et que c'est une base de $E$.
  4. Soit $Q\in E$, montrer que $$Q(X)=\sum_{j=0}^2 Q(j) P_j.$$ Les polynÎmes $P_j$ sont appelés polynÎmes de Lagrange.