Soit $0<\theta<2\pi$
  1. Montrer les deux egalités suivantes: $$\sum\limits_{k=1}^n{\cos {k\theta}}=\dfrac{\cos{ \left( \dfrac{n\theta}{2} \right)}~\sin{\left(\dfrac{(n+1)\theta}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}}$$ $$\sum\limits_{k=1}^n{\sin {k\theta}}=\dfrac{\sin{ \left( \dfrac{n\theta}{2} \right)}~\sin{\left(\dfrac{(n+1)\theta}{2}\right)}}{\sin{\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}}$$
  2. En déduire:
    1. $\sum\limits_{k=1}^n{\cos^2 {k\theta}}$
    2. $\sum\limits_{k=1}^n{\sin^2 {k\theta}}$
  3. Calculer: $$\lim\limits_{\theta\to 0}{\left(\dfrac{\sin {k\theta}}{\theta}\right)}\qquad \textbf{et}\qquad \lim\limits_{\theta\to 0}{\left(\dfrac{1-\cos {k\theta}}{\theta^2}\right)}$$
  4. Retrouver les sommes bien connues: $$\sum\limits_{k=1}^n{k}\qquad \textbf{et}\qquad \sum\limits_{k=1}^n{k^2}$$ Pour la deuxiÚme somme on admettra le résultat suivant: $$\color{magenta}\lim\limits_{\theta\to 0} {\frac{1}{\theta^2}\left( \dfrac{n+1}{2}-\dfrac{\cos(n\theta)\sin((n+1)\theta)}{2\sin(\theta)}\right)}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$