On note $~E~$ l'ensemble: $~E=\{0,1,2,3,4,5\}$. On définit dans $~E~$ une loi $~\ast~$ de la manière suivante : pour tout couple $~(a,b)~$ d'éléments de $~E~$, $(~a~\ast~b~)~$ est le reste de la division de $~ab~$ par $~6~$.
  1. Construire la table associée à cette loi $~\ast~$
  2. La loi est-elle commutative ?
  3. $a~\ast~b =0$ entraîne-t-il: $~~(a = 0) ~~$ ou $~~(b = 0)$?
  4. Une équation du type $~~a~\ast~b =x~~$ admet-elle toujours une solution dans E ? Et quand cette solution existe, est-elle toujours unique ?
  5. Reprendre les questions précédentes dans le contexte suivant : On note E l'ensemble E=$\{1,2,3,4,5,6\}$ et on définit dans E une loi $~\bot~$ de la manière suivante : pour tout couple $(a,b)$ d'éléments de E, $a~\bot~b$ est le reste de la division de $ab$ par $7$.