Soit $(A,+,\times)$ un anneau unitaire.
Un élément $~a~$ est dit nilpotent s'il existe $~n\in \mathbb N^\ast ~$ tel que: $~a^n=0$
Le plus petit entier $n\ge 1$ pour lequel $~a^n=0~$ est appelé indice de nilepotence.
Exemples:
  • $0~$ (élément neutre pour la loi $~+$) est nilepotent d'indice 1
  • 2 est nilepotent d'indice 2 dans $\mathbb {Z}/4\mathbb Z$

  • La matrice $M=\big(\begin{smallmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{smallmatrix}\big)~$ est nipotente d'indice 2 dans l'anneau des matrice carrées d'ordre 2
    1. Donner les éléments nilpotents de $~\mathbb Z/24\mathbb{Z}$
    2. Montrer que si $~a~$ est un élément nilpotent alors: $~~1+a~~$ et $~~1-a~~$ sont inversibles. Donner leurs inverses.
    3. Démontrer que si $~a~$ et $~b~$ sont deux éléments nilpotents qui commutent alors: $~~a+b~~$ et $~~ab~~$ sont nilpotents.