On note $~(u_k)_{0\leqslant k\leqslant 4}~$ les racines cinquièmes de l'unité, $~(~u_k=e^{i\frac{2k\pi}{5}}~)~$.
  1. Montrer que : $$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=0$$
  2. Montrer que :
    1. $~2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=u_1+u_4$.
    2. $~2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=u_2+u_3$.
  3. En déduire que $~\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)~$est solution d'une équation de second degré que l'on déterminera.
  4. Résoudre cette équation, puis, en déduire les valeurs exactes de : \[\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right),\qquad \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\qquad \text{et}\qquad \cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\]