Soit $~(E,\ast)~$ un ensemble, non vide, muni d'une loi de composition interne $\ast~$.
Soit $~f~$ une bijection de $~E~$ dans $~F~$.
Soit F un ensemble non vide sur lequel on definit la loi $~\top~$ comme suit: $$x\top y=f\left(f^{-1}(x)* f^{-1}(y)\right) ~~\qquad \forall (x,y)\in F^2$$

1. Montrer que $\top$ est bien définit et est une loi de composition interne sur $F$.
2. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $(E,*) \text{ vers } (F,\top)$
3. Que peut-on conclure si $(E,*)$ est un groupe commutatif.

Application
Dans chacun des cas Montrer que $~(F,T)~$ est un groupe commutatif:

1. $F=(~-\frac{\pi}{2}~,~\frac{\pi}{2}~)\qquad \text{et}\qquad x\top y=\arctan(~\tan x + \tan y~)$
2. $F=\mathbb{R^*_{+}}-\{1\}\qquad \text{et}\qquad x\top y=e^{\log(x)\log(y)}$
3. $F=(~0~,~1~)\qquad \text{et}\qquad x\top y=e^{-\log(x)\log(y)}$
4. $F=(a~~,~~+\infty)\qquad \text{et}\qquad x\top y=(x-a)(y-a)+a$