Pour $a\in\mathbb R,$ on désigne par $E_a$ le sous-ensemble de $\mathbb R^{\mathbb N}$ défini par : $$E_a~=~\left\{ ~ (u_n)\in\mathbb R^{\mathbb N}~~/~~\exists b\in\mathbb R~~/~~\forall n\in\mathbb N,~~~u_{n+1}=au_n+b \right\}$$
- Soit $(x_n)$ la suite constante égale à $1$ (pour tout $n$ de $\mathbb N$, $x_n = 1$) et soit $(y_n)$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb N,~$ par : $~y_n = a^n$.
Montrer que ces deux suites sont dans $E_a$ (pour chacune d'elle on précisera un réel $b$ qui convient). - Soit $(u_n) \in E_a$, par définition, il existe un réel $b$ tel que pour tout $n\in\mathbb N,~ u_{n+1}=au_n+b$.
Montrer que pour $(u_n)$ donnée, ce réel $b$ est unique. - Quels sont les éléments de $E_0$ ?
- Quels sont les éléments de $E_1$ ?
- Montrer que $~\left(E_a~,~+~\textbf{.}\right)~$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel.
- On considère l'application :
\begin{align*}
f:~~E_a~~~&\longrightarrow~\mathbb R^2\\
(u_n)~&\longmapsto~(u_0~,~u_1) .
\end{align*}
- Montrer que $~f~$ est linéaire et déterminer ker$(f)$.
- En déduire que la dimension de $~E_a~$ est au plus $~2$.
-
- On suppose $~a\not=1.$
- Montrer que $~\left((x_n)~;~(y_n)\right)~$ est une famille libre de $~E_a.$
- Montrer que ~dim$(E_a)=2,~$ et en donner une base.
- Soit $~(u_n)\in E_a,~$ donner les coordonnées de~$~(u_n)~$ dans cette base.
- On suppose $~a=1,~$ soit $~(z_n)~$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb N,$ par $~z_n=n.$
- Montrer que $~\left((x_n)~;~(z_n)\right)~$ est une famille libre de $~E_1.$
- Montrer que ~dim$(E_1)=2,$ et en donner une base.
- Soit $~(u_n)\in E_1,~$ donner les coordonnées de $~(u_n)~$ dans cette base.
- On suppose $~a\not=1.$