${\color{blue}{\textbf{Partie A:}}}$

    Soit $~(G,*)~$ un groupe non commutatif.
    On appelle centre de $~G~$ l'ensemble $~H~$ des éléments $~a~$ de $~G~$ tels que: $$ a\ast x=x\ast a\qquad\quad (~\forall x\in G~)$$ Montrer que $~H~$ est un sous groupe de $~(G,\ast)$.

    ${\color{blue}{\textbf{Partie B:}}}$

    Soient $~E=\{a,b,c \}~$ un ensemble à 3 éléments et $~S_3~$ l'ensemble des bijections de $~E~$ sur $~E$.
    1. Montrer que $(S_3,\circ)$ est un groupe. Trouver le nombre de ses éléments.
      2. Soit $s$ la bijection définie par: $$~~s(a)=b,~~ s(b)=c,~~s(c)=a$$ Montrer que:$~~ \{s,s^2,s^3\}$ est un sous groupe commutatif de $S_3$.
    2. Soit $~t_a~$ la bijection de $~S_3~$ distincte de l'identité, qui laisse invariant $~a~$. Soient de même $~t_b~$ et $~t_c~$. Démontrer que: $$~~(\forall x\in E),~~s\circ t_x \circ s^{-1}=t_{s(x)}$$.
    3. $S_3$ est il commutatif?
    4. Quel est le centre de $~S_3~$.