Examen National Session Normale 2020
Soit $~m~$ un nombre complexe non nul.Première partie:
On considère dans $~\mathbb{C}~$, l'équation $$~(E):~~z^3-2mz^2+2m^2z-m^3=0$$
- Résoudre dans $~\mathbb{C}~$ l'équation $~(E)$. (On remarque que $~m~$ est une solution de l'équation $(E)$)
- On note $z_1,z_2$ les deux autres solutions de l'équation $(E)$ autre que $~m~$.
- Vérifier que: $~~\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1}{m}$
- Dans le cas ou $~~m=1+e^{i\frac{\pi}{3}}~$, écrire sous forme algébrique $~z_1~$ et $~z_2$.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $~(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On considère les points $~A~$ et $~B~$ d'affixes respectifs $~~a=me^{i\frac{\pi}{3}}~~$ et $~~b=m^{e^{-i\frac{\pi}{3}}}$
On note $~P~$ le centre de la rotation d'angle $(\frac{\pi}{2})~$ qui transforme $~O~$ en $~A~$; $~Q~$ le centre de la rotation d'angle $~(\frac{\pi}{2})~$ qui transforme $~A~$ en $~B~$; et $~R~$ le centre de la rotation d'angle $~(\frac{\pi}{2})~$ qui transforme $~B~$ en $~O~$
- Montrer que les points $~O,A~$ et $~B~$ ne sont pas alignés
- Montrer que l'affixe de $~P~$ est $\quad p=m~\frac{\sqrt{2}}{2}~e^{i\frac{7\pi}{12}}~~$ et que l'affixe de $~R~$ est
$\quad r=m~\frac{\sqrt{2}}{2}~e^{-i\frac{7\pi}{12}}~~$ - Montre que l'affixe de $~Q~$ est $\quad q=m\sqrt{2}\sin(\frac{7\pi}{12})$
- Montrer que l'affixe de $~P~$ est $\quad p=m~\frac{\sqrt{2}}{2}~e^{i\frac{7\pi}{12}}~~$ et que l'affixe de $~R~$ est
- Montrer que $\quad OQ=PR\quad$ et que les deux droites $~~(OQ)~~$ et $~~(PR)~~$ sont perpendiculaires.