Soit $~\alpha~$ un nombre réel. on désigne par $~M_{\alpha}~$ la matrice définie comme suit: $$M_{\alpha}=\begin{pmatrix} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha}\\ \end{pmatrix}$$ On pose, en outre: $$\mathbb{M}=\{M_{\alpha}:~ \alpha\in\mathbb R\}\quad\text{et}\quad \mathbb U=\{e^{i\alpha}:~ \alpha\in\mathbb R \}$$

1. Montrer que $\mathbb M$ est stable pour la multiplication ($\times$)
2. 1. Montrer que $\mathbb U$ est une partie stable pour la multiplication dans $\mathbb C$
   2. Montrer que $(\mathbb U,\times)$ est un sous groupe de $(\mathbb C^*,\times)$
3. On considère l'application:$$ f:\mathbb U \longrightarrow \mathbb M$$ $$e^{i\theta} \longmapsto M_{\theta} $$
   1. Montrer que $f$ est un morphisme surjectif de $(\mathbb U,\times)$ vers $(\mathbb M,\times)$
   2. En déduire que $(\mathbb M,\times)$ est un groupe commutatif.