Soient: $E=\mathbb{R^*\times R}~~ \text{ et }~~G=\{f_{(a,b)}: (a,b)\in E\}$ Avec: \begin{align*}f_{(a,b)}:~~& \mathbb R \longrightarrow \mathbb R\\ &x\longmapsto ax+b\end{align*} On munit E de la loi $~\ast~$ définie par: $(a,b) \ast (c,d)=(ac,ad+b)$
  1. Montrer que $(G,\circ)$ est un groupe. est-il commutatif?
  2. soit $~\psi~$ l'application définie par: $$\psi:(G,\circ)\longrightarrow (E,\ast)$$ $$f_{(a,b)}:~\longmapsto (a,b)$$ Montrer que: $~~f_{(a,b)}\circ f_{(c,d)}=f_{(a,b) \ast (c,d)}$
  3. En déduire que $\psi$ est un ismorophisme de $~(G,\circ)~$ vers $~(E,\ast)~$
  4. En déduire que $~(E,\ast )~$ est un groupe. est-il commutatif?