Soient $E = \mathbb R_2[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $~~\le 2$.

Soit $$F=\left\{P\in E \, | \, P(1)=P'(1)=0\right\}.$$
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  2. Déterminer une base et la dimension de $F$.
  3. On note $H=\mathbb R_{1}[X]$.
  4. Donner la dimension et une base de $H$ ?
  5. Montrer $~F\cap H~=~\{0_E\}.~$~ Où $~0_E~$ désigne le polynôme nul de $E$.
  6. Soit $P~=~aX^2+bX+c\in E.$ ~Montrer qu'il existe deux polynômes $Q~~$ et $~~R~~$ tels que: \[P\in F,~~Q\in H~~\text{et}~~P=Q+R\]
  7. Montrer que le couple $(Q,R)$ est unique.