On définit sur $~~\mathbb R~~$ les lois suivantes: \[x\oplus y=x+y+1\qquad \quad \lambda\odot x=\lambda + x-\lambda x\qquad\qquad \forall x,y,\lambda \in\mathbb R .\] $\mathbb R$ munit de l'addition $\oplus$ et du produit externe $\odot$ est-il un espace vectoriel sur $\mathbb R$ ?~Est-il un corps ?