Examen National 2020, Session de Rattrapage:

1. Soit $~m~$ un nombre réel non nul. On considère dans l'ensemble des nombres complexes $~\mathbb{C},~$ les deux équations: $$(E):z^2+2z+1+m^2=0\quad \text{et} \quad (F):z^3+2(1-i)z^2+(1+m^2-4i)z-2i(1+m^2)=0$$
   1. Résoudre dans $~\mathbb{C}~$ l'équation $~(E)~$
   2. 
      
      1. Montrer que l'équation $~(F)~$ admet une solution imaginaire que l'on déterminera .
      2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $~(F)~$
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $~(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On considère les deux points: $~A(-1+im)~$ et $~B(-1-im)~$.
   Soient $\Omega$ le milieu du segment $~[AB]~$, $~A'~$ le milieu du segment $~[OB]~$ et $~B'~$ le milieu du segment $~[OA]$.
   La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $~(-\frac{\pi}{2})~$ transforme $~A~$ en $~P(p)~$.
   La rotation de centre $~A'~$ et d'angle $~(-\frac{\pi}{2})~$ transforme $~B~$ en $~Q(q)$.
   La rotation de centre $~B'~$ et d'angle $~(-\frac{\pi}{2})~$ transforme $~O~$ en $~R(r)~$.
   
   1. Montrer que: $~~p=-1+m,\quad q=\frac{1-i}{2}(-1-im)~~$ et $~~r=\bar q$
   2. 
      
      1. Vérifier que: $~~q-r=-ip$
      2. En déduire que: $~~OP=QR~~$ et que les droites $~~(OP)~~$ et $~~(QR)~~$ sont orthogonales