Soit $~f~$ l'application de $~\mathbb{C}~$ dans $~\mathbb{C}~$ par: \begin{align*} f:~\mathbb{C}&\longrightarrow \mathbb{C}\\ z&\longrightarrow (i-\sqrt{3})z + 3 + \sqrt{3}+i(2\sqrt 3 + 1) \end{align*}
  1. Caractériser géométriquement la transformation du plan complexe, qui à tout point $~M~$, d'affixe $~z~$, associe le point $~M'~$ d'affixe $~f(z)~$.
  2. Soient $~x~$ et $~y~$ (resp. $~x'~$ et $~y'~$) les parties réelles et imaginaires de $~z~$ (resp. $~f(z)~$). Calculer $~x'~$ et $~y'~$ en fonction de $~x~$ et $~y$.
  3. DĂ©terminer l'image, dans le plan complexe, de la droite passant par le point $~A~$ d'affixe $~1-2\sqrt 3~$ et de vecteur directeur $\vec u~$ d'affixe $~\sqrt 3 + i$