$$~M(a,b)~=~\left(\begin{array}{cc} a+\frac{\sqrt{2}}{2}b&-\frac{\sqrt{2}}{2}b \\ \\ \frac{3\sqrt{2}}{2}b&a-\frac{\sqrt{2}}{2}b \end{array}\right).$$ On considère l'ensemble: $$~E~=~\left\{M(a,b)~ /~(a,b)\in\mathbb R^2\right\}$$
- Montrer que $~(E,+,\cdot)~$ est un espace vectoriel.
- Soient $~I=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)~$ et $~ J=\left(\begin{array}{cc} 1&-1 \\ 3&-1 \end{array}\right)$.
Montrer que $~\mathcal{B}=(I,J)~$ est une base de $E$. En déduire la dimension de E. - Montrer que la famille $~\left(M(2,3)~,~M(1,-2)\right)~$ est également une base de $~E$.
- Calculer $~J^2.~$ En déduire que $~J~$ est inversible et déterminer son inverse.
- Pour $n\in\mathbb N$, déterminer, en fonction de $n$, les coordonnées de $J^n$ dans la base $~\mathcal{B}$.
- Montrer que pour tout $~(a,b,c,d)\in\mathbb R^4~$: $$M(a,b)\times M(c,d)~=~M(ac-bd,ad+bc).$$
- Montrer que $~(E,+,\cdot)~$ est un anneau commutatif unitaire.
- On considère l'application $f$ définie de $\mathbb C$ dans $E$ par $$~f~:~a+ib~\longmapsto~ M(a,b).~$$ Montrer que $f$ est un isomorphisme de $~(\mathbb C,\times)~$ vers $~(E,\cdot).$
- Soit $~(a,b)\in\mathbb R^2 \setminus\left\{(0,0)\right\}.~$ En utilisant l'homomorphisme $f$, montrer que $~M(a,b)~$ est inversible dans l'anneau $~(E,+,\textbf{.})~$ et déterminer son inverse.
- En déduire que $~(E,+,\cdot)~$ est un corps commutatif.
- Résoudre dans $E$, l'équation : $~X^3=I$