Espace des suites récurrentes linéaires d'ordre 2
On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 2, toute suite $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par : \begin{align*} &u_{n+2} ~= ~au_{n+1}+bu_n~,~~~\forall n\in\mathbb N\\ &u_0,~~u_1 \qquad\mbox{donnés} \end{align*} où $a$ et $b$ sont deux réels donnés.
On note par $\mathcal{E}$ l'ensemble de telles suites.

1. Montrer que $~\left(\mathcal{E}~,~+~\cdot \right)~$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel.
2. Soit: \begin{align*} \varphi~:~~~\mathcal{E}~~~\longrightarrow~\mathbb R^2\\ (u_n)~\longmapsto~(a~,~b) . \end{align*}
1. Montrer que $~\varphi~$ est un isomorphisme.
2. En déduire la dimension de $~\mathcal{E}$.
On considère l'équation : $(\star)~~~X^2-aX-b=0~,~~\Delta~$son discriminant.
3. On suppose $~\Delta>0.~$ Soient $r_1~$ et $~r_2~$ les racines de $(\star).$
   1. Montrer que $~\left((r_1^n)_{n\in\mathbb N}~,~(r_2^n)_{n\in\mathbb N}\right)~$ est une base de $\mathcal{E}$.
   2. En déduire la forme générale des éléments de $\mathcal{E}$.
   3. Trouver l'expression de la suite de Fibonacci : \begin{align*} u_0&=u_1=1\\ u_{n+2} &= u_{n+1}+u_n~,~~~\forall n\in\mathbb N \end{align*}
4. On suppose $~\Delta =0.~$ Soit $r~$ la racine réelle de $(\star).$
1. Montrer que $~\left((r^n)_{n\in\mathbb N}~,~(nr^n)_{n\in\mathbb N}\right)~$ est une base de $\mathcal{E}$.
2. En déduire la forme générale des éléments de $\mathcal{E}$.
3. Trouver l'expression de la suite : \begin{align*} &u_0=0~,~u_1=1\\ &u_{n+2} = 4u_{n+1}-4u_n~,~~~\forall n\in\mathbb N \end{align*}
5. On suppose $~\Delta < 0.~~$ Soient $~~re^{i\theta}~$ et $~re^{-i\theta}~$ les racines complexes de $(\star).$
6. 1. Montrer que $~\left((r^n\cos(n\theta))_{n\in\mathbb N}~,~(r^n\sin(n\theta))_{n\in\mathbb N}\right)~$ est une base de $\mathcal{E}$.
   2. En déduire la forme générale des éléments de $\mathcal{E}$.
   3. Trouver l'expression de la suite : \begin{align*} &u_0=0~,~u_1=-1\\ &4u_{n+2} = -2u_{n+1}-u_n~,~~~\forall n\in\mathbb N \end{align*}