On considère les ensembles suivants :
  • $H_1=\left\{ (x;y;z)\in\mathbb{R}^3 \ /\ x(y+z)=0\right\}$
  • $H_2=\left\{ f\in\mathcal{F}(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}) \ /\ \exists x\in\mathbb{R} \ /\ f(x)=0\right\}$
  • $H_3~$: ensemble des suites réelles monotones.
  • $H_4~: $ensemble des matrices non inversibles de $~\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
  • $H_5~:$ ensemble des suites réelles géométriques.
  1. Vérifier que chacun des ensembles ci-dessus contient le vecteur nul.
  2. Justifier que ces ensembles sont stables par multiplication par un réel.
  3. Vérifier que ces ensembles ne sont pas stables par addition.
  4. Que pouvez-vous en déduire ?