Soit $~~j = e^{i\frac{2\pi}{3}}~~$; on rappelle que:
$$j^3 = 1\qquad \mbox{et} \qquad 1+j+j^2 = 0$$ On note: $$\mathbb Z[j] =\left\lbrace a+bj: (a,b)\in \mathbb Z^2\right\rbrace $$
  1. Montrer que $~~(\mathbb Z[j],+,\times)~~$ est un anneau commutatif.
  2. Montrer que si $~~z\in \mathbb Z[j]~~$; alors $~~|z|^2 \in \mathbb N.$
  3. Soit $~~z\in \mathbb Z[j]~~$: Prouver que $~~|z| = 1~~$ si et seulement si $~~z~~$ est inversible.
  4. Démontrer que $~~\mathbb Z[j]~~$ possède un nombre fini d'éléments inversibles et les expliciter.
    5. On pourra utiliser, après l'avoir justifiée, l'inégalité:$~~ab\leq \frac{1}{2}(a^2+b^2)$