Souespaces de $\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right):$ Soit $~E=\mathcal{F}\left(\mathbb{R}~;~\mathbb{R}\right),~$ l'espace vectoriel réel des fonctions numériques définies sur $\mathbb {R}$. Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $~E~$? Justifier votre réponse.
  1. $F_5$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+x y=0$.
  2. $F_7 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}), ~~\displaystyle\int_{-1}^1 f(t) \, dt = 0 \}$.
  3. $F_8 = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}), \forall x\in\mathbb{R}, f(x)=f(2x)\}$.