Le plan complexe $~\mathcal{P}~$ est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{e_1},~\overrightarrow{e_2}\right)~$, unité graphique 1 cm. Soit $~A~$ le point d'affixe $~3i~$. On appelle $~f,~$ l'application qui, à tout point $~M~$ d'affixe $~z~$, distinct de $A$, associe le point $M'$ d'affixe $~z'~$ définie par : $$\qquad z' = \dfrac{3\text{i}z - 7}{z - 3\text{i}}$$

1. Montrer que $~f~$ admet deux points invariants $~B~$ et $~C~$ dont on précisera les affixes et qu'on placera sur un dessin.
2. On appelle $~\Sigma~$ le cercle de diamètre $~[BC]~$. Soit $~M~$ un point quelconque de $~\Sigma~$, distinct de $~B~$ et de $~C~$, soit $~M'~$ son image par $~f~$.
1. Justifier que l'affixe $~z~$ de $~M~$ vérifie : $~z = 3i + 4 e^{i\theta}~$ où $~\theta~$ est un nombre réel.
2. Exprimer l'affixe $~z'~$ de $~M'~$ en fonction de $~\theta~$ et en déduire que $~M'~$ appartient aussi à $\Sigma$.
3. Démontrer que $~z' = - \overline{z}~$ et en déduire, en la justifiant, une construction géométrique de $~M'~$.
3. On considère un cercle de centre A, de rayon $~r > 0~$. Déterminer l'image de ce cercle par $f$.