On considère les ensembles suivants :
  • $E ~=~\mathcal{C}^0\left(\mathbb R~;~\mathbb R\right)~~~$: Espace des fonctions réelles continues sur $\mathbb R.$
  • $F~=~\mathcal{C}^1\left(\mathbb R~;~\mathbb R\right)~$: Espace des fonctions réelles dérivables et de dérivée continue sur $~\mathbb R$.
  • $G=\left\lbrace g\in F: ~~g(0)=g'(0)=0~\right\rbrace~$ et $~g' ~$ dérivable en 0.
    On considère aussi l'application: \begin{align*} \varphi~: {E}&\longrightarrow~G\\ f&\longmapsto~\varphi_f~:~x~\longmapsto~\int_0^xtf(t)\text{d}t. \end{align*}
    1. Montrer que $~G~$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel.
    2. Vérifier que $~\varphi_f\in G~$ et que $~\varphi~$ est linéaire.
    3. Soit $~g\in G,~$ on définit $~f~$ par $~f(x)=\dfrac{g'(x)}{x}~$si $~x\not=0~$ et $~f(0)=g''(0).~$ Montrer que $~f\in E~$ et en déduire que $~\varphi~$est surjective.
    4. Montrer que $~\varphi~$ est un isomorphisme.