Dans cet exercice on propose de montrer que: $$\prod\limits_{k=1}^{n}{(k^4+k^2+1)}~~$$ n'est pas un carré parfait pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$.
Soit $~k\in\mathbb{N}^\ast$.
  1. En effectuant un encadrement convenable , montrer que: $~(k^2+k+1)~$ ne peut être un carré parfait.
  2. Montrer que pour $x$ dans $\mathbb{R}$ on a: $$x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$$
  3. En posant: $$\begin{cases} P(x)=(x^2-x+1)\\Q(x)=x^2+x+1 \\ \end{cases}$$ Montrer que: $$P(x+1)=Q(x)$$
  4. En déduire que: $$\prod\limits_{k=1}^n{(P(k)Q(k))}=Q(n)\left(\prod\limits_{k=2}^n{P(k)}\right)^2$$
  5. Déduire alors que: $$\prod\limits_{k=1}^n{(P(k)Q(k))}$$ ne peut-être un carré parfait.