Soit: $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&1 \\ 0&1&0\\1&0&0 \end{array}\right)$$ et:
$$F=~\left\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb R)~~/~~AM=MA=M\right\}$$
  1. Montrer que $~\left(F~,~+~\textbf{.}\right)~$ est un $\mathbb R-$espace vectoriel.
  2. Montrer qu'il ne peut y avoir dans $F$ de matrices inversibles.

  3. Soit $~M=\left(\begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f\\g&h&i \end{array}\right)$ une matrice de $F$.

    1. Montrer que $~a=c=g=i~,~b=h~$ et $~d=f.~$ En déduire la forme des éléments de $F$.
    2. Déterminer une base de $F$ et vérifier que dim$(F)=4$.