1. Calculer la somme suivante: $$S=\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k} $$
  2. soit $n$ dans $\mathbb N^*$. Montrer en utilisant la formule du binôme de Newton que: $$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k(1)^{n-k}(1)^k}$$
  3. En deduire que: $$\boxed{\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k}=2^n}$$
  4. Développer: $~(1-1)^n$. En déduire que: $$\boxed{\sum\limits_{k=0}^n{(-1)^kC_n^k}=0}$$
  5. Soit $~f~$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: $$f(x)=(1+x)^n.$$ - Calculer: $~~f'(x)$ et $~f'(1)$

    6. - En développant $~f'(x)~$ montrer que: $$\boxed{\sum\limits_{k=1}^nkC_n^k=n2^{n-1}}$$
  6. De la même manière, on pose: $$f(x)=(1-x)^n$$ - Calculer: $~f'(x)~$ et $~f'(1)$
    - En déduire que: $$\boxed{\sum\limits_{k=1}^n{(-1)^kkC_n^k}=0}$$