Soient $~z~$ et $~z'~$ deux nombres complexes non nuls.
  1. Montrer l'équivalence \[~\left|z+1\right|=\left|z\right|+1~\Longleftrightarrow ~z\in\mathbb{R}^+\]
  2. En déduire que \[~\left|z+z'\right|=\left|z\right|+\left|z'\right|~\Longleftrightarrow ~\exists\lambda\in\mathbb{R}^+~/~ z=\lambda z'\]
  3. Soit $n$ un entier naturel non nul et $~z_1,~z_2,~\cdots z_n~$ des nombres complexes non nuls. Montrer par récurrence que les 2 propositions suivantes sont équivalentes:
    1. $\left|z_1+z_2+\cdots +z_n\right|=\left|z_1\right|+\left|z_2\right|+\cdots +\left|z_n\right|$
    2. $~\exists\left(\lambda_1~;~\lambda_1~;~\cdots ; \lambda_n\right)\in\left(\mathbb{R}^+\right)^n~/~ z_i=\lambda_i z_1~~\forall 1\leqslant i\leqslant n.$