On note $~\left(J_1,~J_2,~J_3,~J_4\right)~$ la base canonique de $~\mathcal{M}_2(\mathbb R).~$
Soit $~f~~$ l'application définie sur $~\mathcal{M}_2(\mathbb R)~$ par: \[f~:~M=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \end{array}\right)~\longmapsto~ M+(a+d)I_2.\]
  1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb R)$.
  2. Déterminer la matrice $A$ de $f$ dans la base $(J_1,~ J_2,~ J_3,~ J_4)$.
    1. Montrer que $(J_1-J_4,~ J_2,~ J_3,~ I_2)$ est une base de $\mathcal{M}_2(\mathbb R)$.
    2. Déterminer la matrice $D$ de $f$ dans cette base.
  4. Montrer que $f$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb R)$.