Extrait Bac Maroc, Sc.Maths, Juillet 2005

Soit $~n~$ un entier naturel supérieur ou égal à $~20$ . Une urne contient dix boules blanches et $~(n-10)~$ boules noires, on suppose que toutes les boules sont indiscernable au toucher.
On tire de cette urne une boule et on note sa couleur puis on la remets dans l’urne.
On répète cette expérience aléatoire n fois. On note $~p_k~$ la probabilité d'obtenir exactement $~k~$ boules blanches $~(0\leq k\leq n)$ .

1. Calculer $~p_k~$ en fonction de $~k$.
2. Montrer que: $~\forall k \in [0~,~n-1]\quad u_k=\left(\dfrac{p_{k+1}}{p_k}\right)= \left(\dfrac{n-k}{k+1}\right)\times \left(\dfrac{10}{n-10}\right)$
3. Montrer les équivalences: $$\begin{cases} 0\leq k\leq 9 \quad &\Longleftrightarrow\quad u_k\geq 1 \\ 10\leq k\leq n-1 &\Longleftrightarrow\quad u_k\leq 1 \\ \end{cases}$$
4. En déduire la plus grande valeur $~M~$ de $~p_k ~\text{pour:}~ k\in\{1,2,\cdots,n\}$
   Montrer que:$$M=\left(\frac{n!}{n^n} \right) \left(\frac{10^{10}}{10!} \right) \left(\frac{(n-10)^{n-10}}{(n-10)!} \right)$$