Construction de $\mathbb C$
  1. Montrer que les matrices \[I=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array}\right)~,\qquad K= \left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ 1&0 \end{array}\right)~~\text{et}~~L=\left(\begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&-1 \end{array}\right)\] forme une base de $\mathcal{M}_2(\mathbb R)$.
  2. On pose \[C~=~\left\{M=aI+bJ~~/~~a,b\in\mathbb R~\right\}.\]
    1. Montrer que $C$ est un sou-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb R)$.
    2. Exprimer $J^2,~KJ,~LJ,~JK~$ et $~JL$ dans la base $\left\{I,J,K,L\right\}$ et montrer que, pour toute matrice $~M~$ de $~\mathcal{M}_2(\mathbb R)~$, la relation $~JM = MJ~$ équivaut à $~M \in C$.
    3. Montrer que $C$ est stable par multiplication.
    4. Montrer que l'espace vectoriel $C$ est un corps. Décrire ses éléments