Soit $u=e^{\frac{2i\pi}{11}}.~$. On pose: $$A=u+u^3+u^4+u^5+u^9\qquad\mbox{ et }\qquad B=u^2+u^6+u^7+u^8+u^{10}.$$
  1. Montrer que $u^{11}=1~$ et que $~\overline{u}=u^{10}.$
  2. Exprimer également les conjugués de $~u^3,~u^4,~u^5$ et $u^9~$ en fonction de $u$.
  3. En déduire que $A$ et $B$ sont conjugués.
    1. Montrer que la partie imaginaire de $A$ est la somme de cinq sinus dont quatre sont strictement positifs, et un strictement négatif.
    2. En déduire que la partie imaginaire de $A$ est positive (sans calcul numérique)
  5. Démontrer que $~~A+B=-1~~$ et que $~~A\times B=3.$
  6. En déduire les valeurs de $~A~$ et $~B~$.
    1. Démontrer que: $$\sum_{k=1}^{10}\left(-u^3\right)^k=\dfrac{1-u^3}{1+u^3}=-i\tan\left(\frac{3\pi}{11}\right).$$
    2. Vérifier que: $$\sum_{k=1}^{10}\left(-u^3\right)^k=B-A+2\left(u-u^{10}\right).$$
    3. En déduire l'égalité: \[\tan\left(\dfrac{3\pi}{11}\right)~+~4\sin\left(\dfrac{2\pi}{11}\right)~=~\sqrt{11}.\]