Énoncé de l'exercice

Soit $(n,p)$ deux entiers naturels tels que : $p \leq n$.

On désigne par :

• $E=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$, un ensemble contenant $n$ nombres réels, deux à deux distincts fixés.
• $E^p=E\times E\times \cdots\times E$
• $E_p$ : Ensemble des parties de $E$ à $p$ éléments.
• $S_p=\{(c_1,c_2,\cdots,c_p)\in E^p : c_1 < c_2 < \cdots < c_p\}$, l'ensemble des suites croissantes à $p$ éléments de $E$.

1. Calculer le cardinal de $E_p$.
2. Soit : \begin{align*} f: S_p &\longrightarrow E_p \\ (c_1,c_2,\cdots,c_p) &\longmapsto \{c_1,c_2,\cdots,c_p\} \end{align*} Montrer que $f$ définit une bijection de $S_p$ vers $E_p$.
3. En déduire le cardinal de $S_p$.
4. En déduire le nombre d'applications strictement croissantes de l'ensemble $\{1, 2, \dots, p\}$ vers l'ensemble $E$.