\[I=\left(\begin{array}{cccc} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right)~,\qquad J=\left(\begin{array}{cccc} 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0\\0&1&0&0\\ 0&0&1&0 \end{array}\right)~,\qquad K= \left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0\\0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array}\right)~~\text{et}~~L=\left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&0 \\ 0&0&0&1\\1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{array}\right)\].
On désigne par $~E~$ l'ensemble des matrices $M$ s'écrivant sous la forme $~M=aI+bJ+cK+dL,~$ où $~a, b, c~~$ et $~d~$ sont des nombres réels.
- Montrer que $E$ est un espace vectoriel, et que $~~(I, J, K, L)~~$ en forme une base.
- Montrer, en les calculant explicitement, que $~~J^2,~K^2,~L^2,~J^3~$ et $~L^3~~$ appartiennent à $E$.
- En déduire, sans aucun calcul matriciel, que $~~JK,~ KJ,~ KL,~ LK, ~JL~~$ et $~~LJ$ appartiennent aussi à $~E$.
- Montrer enfin que $~E~$ est stable par multiplication matricielle.